1、预备知识预备知识：直线的方向向量、平面的法向量直线的方向向量、平面的法向量 第七节 立体几何中的向量方法 B B A A 2 实验幼儿园 高三数学组 徐美喆 1 v1v2 v1v2 l3 l l 1 1 l l 2 2 一、 利用直线的方向向量与平面的法向量，判定直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直 (1)设直线l1的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2 (a2，b2，c2) 则l1l2 (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR) l1l2 a1a2b1b2c1c20. 2 1直线a，b的方向向量分别为a(1，1,2)，b(2,2，4)， 则( ) Aab或
2、a与b重合 Bab Ca与b相交但不垂直 Da与b异面但不垂直 解析：a(1，1,2)，b(2,2，4)，b2a， a与b共线即a b或a与b重合 3 法向量 n 方向向量 V vn vn n1n2 n1n2 4 二.利用方向向量和法向量解决空间的夹角夹角问题 （1）两直线的夹角 （2）直线与平面的夹角 （3）二面角的大小【余弦值】 例例 A B C EF GH K n2 n1 5 例题：PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD， BAAD，PA平面ABCD，ABAPAD3，CD6 (1) 求PD与BC所成的角（2）求二面角C-PB-A的余弦值 解析：以A为坐标原点，AD、AB、AP 所
3、在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0) 6 例：四棱锥 SABCD的底面是正方形， SD平面 ABCD，SD2，AD2 则二面角 CASD的余弦值为_ 【整理此题至资料上】 7 8 正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直， 已知BC2AD4，ABC60，BFAC (1)求证：AC平面ABF (2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值 证明： 9 四边形ABCD是等腰梯，ABCD， DAB=60，FC平面ABCD， AEBD，CB=CD=CF （）求证：BD平面AED （）求二面角
4、F-BD-C的余弦值 【2011山东理科】 【2012山东理科】 10 1(2012六安月考)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB 2， AF1，M是线段EF的中点 求证：(1)AM平面BDE； (2)AM平面BDF. 11 12 13 例2 (2011大纲版全国高考)如图，四棱 锥SABCD中，ABCD，BCCD， 侧面SAB为等边三角形ABBC2， CDSD1. (1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值 14 15 16 17 18 19 20 21 3.在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，PAAD2，
5、 AB1，BMPD于点M. (1)求证：AMPD； (2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值 22 解：(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD， PAAB. ABAD，ADPAA， AB平面PAD. PD 平面PAD，ABPD， BMPD，ABBMB， PD平面ABM. AM 平面ABM，AMPD. 23 24 25 例3 四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD PDQA，QAAB1 2PD (1)证明：平面PQC平面DCQ； (2)求二面角QBPC的余弦值 解：以D为坐标原点，线段DA的长为 单位长度，射线DA为x轴的正半轴建 立空间直角坐标系Dxyz 26 27 28 4.
6、一个几何体是由如图所示的圆柱 ADD1A1和三棱锥E ABC组合 而成，点A、B、C在圆柱上底面 圆O的圆周上， 且BC过圆心O，EA平面ABC. (1)求证：ACBD； (2)求锐二面角ABDC的大小 29 解：(1)证明：因为EA平面ABC，AC 平面ABC，所 以EAAC，即EDAC. 又因为ACAB，ABEDA， 所以AC平面EBD. 因为BD 平面EBD， 所以ACBD. 30 31 32 冲关锦囊 33 34 35 36 37 巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！) 38 39 40 41 42 冲关锦囊 1开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有 一定的思维深度，用向量法较容易解决 2对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标， 转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存 在，若有解但不满足题意或无解则不存在 43 44 45 46 47 48 49 50
