1、“ “杨辉三角杨辉三角” ”中的一些秘密中的一些秘密 1 二项式（a+b）n展开 式的二项式系数，当 n依次取1，2，3 时，列出的一张 表，叫做二项式系数 表，因它形如三角形 ，南宋的杨辉对其有 过深入研究，所以我 们又称它为杨辉三角 杨辉 2 详解九章算法中记载的表 1.1.杨辉三角杨辉三角 3 第5行 1 5 5 1 第0行1 2. 2.杨辉三角与二项系数杨辉三角与二项系数 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 1 第6行 1 6 15 6 1 第n-1行 11 第n行 11 1520 1010 64 见书P35 4 3.杨辉三角基本性质 5 第5行
2、 1 5 5 1 第0行1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 1 第6行 1 6 15 6 1 第n-1行 11 第n行 11 1520 1010 64 再探杨 辉三角 6 根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和 ： 一般地， 见书P36 7 4.横看杨辉三角中各行数字 第1行 112 第2行 121422 第3行 1331823 第4行 146411624 第5行 151010513225 第n行 (1)第n行数字的和为2 n (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2 n+1 1 性质1 8 4.横看杨辉三角中各行数字 二看：4，8，16，各行
3、数字有何特点？ 一看：1，3，7，15各行数字有何特点？ 三看：2，3，5，7，11 各行数字有何特点？ 9 1、第1，3，7，15，这些行即2k-1（k是 正整数）行的各个数字均为奇数，2k行除 两端的1之外都是偶数。 2、当行数P是质数（素数），除去两端的 数字1以外，行数P整除其余所有的数。 性质2 10 5.5.斜看杨辉三角中各行数字的和斜看杨辉三角中各行数字的和 从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发 ，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线， 在这条射线上的各数的和等于这个数. 11 5.5.斜看杨辉三角中各行数字的和斜看杨辉三角中各行数字的和 一般地，在第m条斜线上（从右上
4、到左下） 前n个数字的和，等于第 m+1 条斜线上 的第 n 个数 性质3 12 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第3行 1 3 3 1 1 2 5 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第1行 1 1 第0行1 第2行 1 2 1 1 3 8 13 21 34 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 5.5.斜看杨辉三角中各数的和斜看杨辉三角中各数的和 13 1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an 满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3)这就是著名 的斐波
5、那契数列 世事洞明皆数学，留心处处是文章。 性质4 14 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提 出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能 长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每 个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无 死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 15 6.6.杨辉三角与杨辉三角与“ “纵横路线图纵横路线图 ” ” “纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题： 如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路
6、， 如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)， 那么有多少种不同的走法？ A B 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 70 16 7.7.杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑 色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地 向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第 三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根 据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于 中间区奖品？ 答：两边的概率要比中间小。类 似于一个三角形，中间掉的概率 高。商家当然是要把钱多的给少 的了！放在中间岂不是对不起自 己么！（见书P70高尔顿板） 1
7、7 8.成果展示 1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行（含第 0行）所有和为2n-1，它恰好比第n行的和2n小1； 2、杨辉三角的第1，3，7，15，行，即第2K-1 （k是正整数）行的各个数字均为奇数。 3、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以 外，行数P整除其余所有的数。 4、一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n 个数字的和，等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数 5、数列an满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3)这就是著名的斐波那契数列 18 9.方法总结 1、运用了联系、类比的观点看问题； 2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明 的思想方法
8、； 3、学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰 ，远近高低各不同”； 4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的 能力。 课外研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字 之外，还有哪些好的性质？ 19 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 1、（04. 上海春季高考）如图，在由 二项式系数所构成的杨辉三角形中， 第_行中从左至右第14与第15个数 的比为2：3 34 10.链接高考 20 第1行 1 第2行 2 2 第3行 3 4 3 第4行 4 7 7 4 第5行 5 11 14 11 5 第6行 6 16 25 25 16 6 21 r+1 22
