1、高 斯 的 故 事 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们 出了一道 题：计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间， 所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知 ，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师 ，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪 最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本 上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了 鼓励他，老师买了一本数学书送给他。 思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出 它的值呢？ 1 100 9998 2 1 n(n-1) (n-2) 2 1 问题1 2 如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层 的数目分别
2、为1，2，3，10 . 问共有多 少根圆木？请用简便的方法计算. 问题2 3 数列前n 项和的意义 数列 an ： a1， a2 ， a3 ， an ， 我们把 a1a2 a3 an 叫做数列数列 a a n n 的的前前n n项和项和，记作，记作S S n n 这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列 an 的首项a1，项数n，第n项a a n n ，求前求前n n项项 和和S S n n 的计算公式；的计算公式；(2)(2)对此公式进行应用。对此公式进行应用。 4 设等差数列an的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+an =a1+(a1+d)+a1+(n-1)d 又Sn=an+(an-
3、d)+an-(n-1)d 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an) =n(a1+an) 此种求 和法称 为倒序 相加法 n个 思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？ 公式的推导 5 设 若a1、d是确定的，那么 上式可写成Sn=An2+Bn 若A0（即d0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。 等差数列的前n项和公式的其它形式 分析公式的结构特征 6 例:等差数列10,6,2,的前多少项的和为54？ 解：设题中的等差数列是an，前n项和为Sn. 则a110，d6（10）4，Sn54. 由等差数列前n项和公式，得 解得 n19，n23（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
4、举 例 1.an ？ an = 4n-14 Sn = 2n2-12n2. Sn呢？ 7 8 9 10 11 12 n Sn O 6 n an O an = 4n-14 Sn = 2n2-12n Sn的深入认识 13 课外探索 1、已知等差数列16，14，12，10， (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？ 14 2、 求集合 的元素个数，并求这些元素的和. 解： 所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得 即 7，14，21，28，98 这个数列是成等差数列，记为 答：集合M共有14个元素，它们的和等于735. 15 3、 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它 们的比是3：4：5. 证明 ： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列， 它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d0,d0) 由勾股定理，得到 解得 从而这三边的长是 3d,4d,5d, 因此，这三条边的长的比是3：4：5 16 17 作业 P.52 练习1、 2、3 18
