1、第2章 数值积分与数值微分 牛顿-科特斯(Newton-Cotes)公式 及其复合求积公式 1 牛顿-科特斯公式 q 等距节点的插值型求积公式称为牛顿-科特斯公式 ：取等距节点：xi = a + i h， ，i = 1, 2, , n 令 x = a + t h 得： q 插值型求积公式 其中 2 牛顿-科特斯公式（续） 注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可通过查表得到 。与被积函数 f (x) 及积分区间 a, b 均无关 。 科特斯(Cotes) 系数 q 牛顿-科特斯公式： 3 几个常见公式 n = 1: 代数精度 = 1 梯形求积公式 n = 2: 代数精度 = 3 抛物线求积
2、公式 Simpson求积公式 n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式 T S C 4 科特斯系数表 5 系数特点和稳定性 q 科特斯系数具有以下特点： (1) (2) (3) 当 n 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且 当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。 故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式 。 q 当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。 6 牛顿-科特斯公式的代数精度 定理 当 n 为偶数时，牛顿科特斯公式至少有 n+1 阶 代数精度。 证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)xn+1精确成立。 由插值型求积公式的误差公式得 作变量代换 x = a
3、+ t h，并将 xi = a + i h 代入得 再作变量代换 t = n - s，得 又 n 偶数 7 余项 q 梯形公式的余项 中值定理 q Simpson公式的余项 三次Hermite插值 8 余项的一般形式 定理 (1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2a, b ，则存在 (a, b) 使得 设 ，则有 (2) 若 n 为奇数， f (x) Cn+1a, b ，则存在 (a, b) 使得 9 举例（一） q 例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分 解：a0, b1, f (x) = e -x ， 由 simpson 公式可得 由梯形公式可得 与精确值 0.6321 相比
4、得误差分别为 0.0518 和 0.0002。 10 复合求积公式 q 提高积分计算精度的常用两种方法 用 复合公式 用 非等距节点 q 复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式。 q 将a, b 分成 n 等分 xi , xi+1 ，其中节点 (i = 0, 1, , n) 11 复合梯形公式 q 复合梯形公式: Tn q 余项： ， (a, b) 12 复合simpson公式 q 复合simpson公式: Sn q 余项： ， (a, b) 4 4 4 4 4 13 复合科特斯公式 q 复合cotes公式: Cn q 余项： ， (a, b)
5、 14 举例（二） 解： q 例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯 形公式和复合simpson公式计算积分 xi 01/82/83/84/85/86/87/81.0 f (xi ) 10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841 15 h 很小时的误差 i (xi, xi+1 ) (h 0) 定积分定义 即 同理 16 收敛速度与误差估计 定义 若一个积分公式的误差满足 且C 0， 则称该公式是 p 阶收敛的。 例：计算 解：其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基 本相同 17 Q: 给定精度 ，如何取 n ? 例如：
6、要求 ，如何判断 n = ？ ? 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 18 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 注意到区间再次对分时 可用来判断迭代 是否停止。 Q: 给定精度 ，如何取 n ? 19 2.3 龙贝格算法 n梯形法的递推化 n龙贝格算法 n理查森外推加速法 20 1 梯形法的递推化 方法思路 : 复化求积方法可提高求积精度，实际计算 时可以将步长逐次分半。 在每个子区间xk,xk+1经过二分只增加了一 个分点xk+1/2=1/2(xk+xk+1),用复化梯形公式 求得该子区间上的积分值
7、为 21 注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。将 每个子区间上的积分值相加得 从而可导出下列递推公式 1 梯形法的递推化 22 龙贝格算法 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的 基础上应用了线性外推的加速方法， 由此构成的一种具有超线性收敛的自 动积分法 23 基本思想 根据复化梯形公式的余项表达式可知 24 将上式移项整理，可得 可以做这样的补偿 基本思想 25 同理 由此得到 同理 基本思想 26 由此法，可得如下三角形数表 梯形 辛卜生 柯特斯 龙贝格 T0 T3 T2 T1 S0 S2 S1 C0 C1 D0 基本思想 27 样条插值积分 q 用三次样条插值函数 S(x) 近似被积函数 f (x) ，从而得到样条插值积分公式。 (i = 0, 1, , n) 将a, b 分 n 等分 ， ， 设 S(xi)mi ，则 S (x) 在 xi , xi+1 上为满足以下条件 的三次多项式： ， 由三次 Hermite 插值多项式公式（P.46）可得 28 样条插值积分（续） 于是有 由于 S (x) 在 xi , xi+1 上为三次多项式，所以simpson 公式精确成立，即 于是得积分公式 Un 29 样条插值积分（续） Un Tn 余项： 只增加计算两端点的导数，计算精度即由O(h2) 提高到O(h4) 30
