1、二、三重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法 1 把积分化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . P183 题7 练习题 2 计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 P183 题8(3) 3 三重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性
2、简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 1. 积分区域关于坐标面的对称性. 2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性 . 只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化. 利用对称性简化三重积分的计算： 4 其它情形依此类推. 三重积分计算的简化 5 P182 题1(1) 设有空间闭区域 则有（ ） 6 例1 解 典型例题 7 例2 解 利用球面坐标 8 例3 解 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 9 第四节 一、立体体积 三、物体的质心 重积分的应用 第十章 四、物体的转动惯量 二、曲面的面积 五、物体的引力 10 二重积分的元素法 将定积分的元素法推广到二重
3、积分，可得二重积分的元素法 ： 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性： 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 ，相应地部分量可近似地表示为f(x,y) d的形式，其中 (x,y)在d内。 f(x,y) d称为所求量U的元素， 记为dU，则所求量的积分表达式为 ： （即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和）， 11 一、立体体积 12 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 13 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 例1. 求曲面 分析: 第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的
4、交线 在xOy面上的投影, 写出所围区域 D ; 第三步: 求体积V . (示意图) 14 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面的切平面方程为 它与曲面的交线在 xOy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例1. 求曲面 15 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 16 二、曲面的面积 17 曲面方程 ： D:有界闭区域 求曲面的面积 A 18 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , (称为面积元素) 则 (见
5、P99) 19 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为则有 即 20 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则 则有 且 21 曲面面 积 其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域 求曲面面积的步骤 ： （1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D （2）在区域D上计算二重积分： 22 同理可得 设曲面的方程为 ： 曲面面积公式为 ： 设曲面的方程为 ： 曲面面积公式为 ： 23 例3 求球面 被平面 所截的球冠的面积。 解 ： 球冠在 xoy 面上 的投影区域： 24 25 26 半球面面积： 球面面积 ： 27 例4 求圆锥面 被圆柱面 所截部分的面积。 投影区域 ： 所求曲面： 28 作业 P15
6、5 10 P175 1，2，3 习题课 29 三、物体的质心 30 三、物体的质心 设空间有n个质点,其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “分割，近似，求和，取极限” 可导出其质心 31 将 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 32 同理可得 则得形心坐标： 33 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (A 为 D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密
7、度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩 34 例5. 求位于两圆和 的质心（形心） 。 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 35 z = 0 y x z o 柱面坐标 a . . . 用哪种坐标？ 例6. . 36 四、物体的转动惯量 37 设平面有n个质点 该质点系的转动惯量 第k个质点的位置 质点系的转动惯量 质量 x o y 38 平面薄片的转动惯量 The Moment of Inertia of a Lamina 39 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 40 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转
8、动惯量. 41 空间有界闭区域上物体的转动惯量 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 42 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 43 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 设球 所占域为 (用球坐标) 44 五、物体的引力 45 ,G 为引力常数 五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为 其密度函数 引力元素在
9、三坐标轴上分量为 其中 46 若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点 的引力分量, 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 47 例9. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解: 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力. 。 48 例10. 求半径为R的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 49 为球的质量 50 作业 P175 5，7（1,3），11，14 习题课 51 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 52
