1、目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 1 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质,求分布在 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 2 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似.性质: 下列“乘 积和式” 极限 记作 3 目录 上页 下页 返回 结束 二、
2、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 4 目录 上页 下页 返回 结束 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 5 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 6 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 7 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
3、8 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为 例3. 计算三重积分 所 解: 在柱面坐标系下 及平面由柱面 围成半圆柱体. 9 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中 由抛物面 原式 = 10 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 11 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 12 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中 与球面 13 目录 上页 下页 返回 结束 1. 将用三次积分表示,其中 由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 14 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 15
