1、1 牛顿欧拉运动方程 拉格朗日动力学 关节空间与操作空间动力学 2 前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题： 动力学正问题和逆问题。 3 动力学正问题是根据关节驱动力矩或力，计算机器人 的运动(关节位移、速度和加速度)； 动力学逆问题是已知轨迹对应的关节位
2、移、速度和加 速度，求出所需要的关节力矩或力。 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时 ，n 自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。 方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、离心力/力矩及重力/ 力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、 牛顿一欧拉(NewtonEuler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋 量对偶数、罗伯逊一魏登堡(RobersonWittenburg)等方法。 4 研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用
3、动力学模型，实现最 优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根 据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小 进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和 路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要 以机器人动力学模型为基础。 研究机器人动力学的目的 5 5.1 机器人静力学 机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其
4、i-1fi 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i- 1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 矩，ci为杆i质心。 作用在杆i的 力和力矩 6 根据力、力矩平衡原理有 7 5.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力 矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器 人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方 法有牛顿欧拉法和拉格朗日法等。 8 1、牛顿欧拉法方程 在考虑速度与加速度 影响的情况下，作用在机 器人手臂杆i上的力和力 矩如右图所示。其中vci 和i分别为杆i质心的平 移速度向量和此杆的角速 度向
5、量。 根据力、力矩平衡原 理有: 5-1 5-2 称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。 9 其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量 10 2、 拉格朗日方程 牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方 程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求解 。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的概 念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具 有显式结构，物理意义比较明确。 (1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的 动能Ek与总的势能Ep之差，即: 表示动能与势能的广义坐标 相应的广义速度 11 (2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i
6、的动能Eki为 连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能 之和，即: 系统的动能为n个连杆的动能之和，即： 12 由于 和 是关节变量 和关节速 度 的函数，因此，从上式可知，机器人的 动能是关节变量和关节速度的标量函数，记为 ，可表示成： 式中， 是nxn阶的机器人惯性矩阵 13 3机器人系统势能 设连杆i的势能为 ，连杆i的质心在O坐标系中的位 置矢量为 ，重力加速度矢量在坐标系中为g，则： 机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即： 它是q的标量函数。 14 4拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为： 上式又称为拉格朗日欧拉方程，简称LE方程。式 中， 是n个关节的驱动力或力矩矢量，上式
7、可写成： 15 例平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量矩 阵为： 16 (1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为1+/2 为求解方便，此处取关节变量为1和d2，关节驱动力矩l 和力f2。 17 (2)系统动能 由式(1)，分别得 1 总动能为： 18 (3)系统势能 因为： 则： 总势能为： 19 (4)偏导数 20 (5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日 方程，得到平面RP机器人的 动力学方程的封闭形式： 拉格朗日方程 2 21 (1)关节空间动力学方程 将式2写成矩阵形式：
8、3、关节空间与操作空间动力学 式中 3 22 式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭 形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变 量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节的 机器人， 是nn正定对称矩阵，是q的函数，称 为机器人惯性矩阵； 是n1的离心力和哥氏力 向量； 是n1重力矢量，与机器人的形位q 有关。 23 2操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中， 操作力F与末端加速度 之间的关系可表示为： 操作空间中的惯性矩阵 离心力和哥氏力矢量 重力矢量 广义操作力矢量 机器人末 端位姿向量 24 由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为： 操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系： 比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到： 25 3关节力矩操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出 的操作运动之间的关系由式(4)和(5)，得(6) ： 4 5 6 式(6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。 26 思考题1 什么是拉格朗日函 数？简述用拉格朗日方法建 立机器人动力学方程的步骤 。 27
