1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 3.2 3.2 定积分定积分 高等数学A 3.2.1 曲边梯形的面积变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念 3.2.3 定积分的简单性质中值定理 第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学 3.2 定积分 定积分的概念与性质 3.2.1 曲边梯形的面积变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念 3.2.3 定积分的简单性质中值定理 定积分的概念习例1-3 定积分的性质习例4-8 定积分的几何意义 本节内容小结 a bx y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 思考方法: 利用“矩形面积=底高”. 一、曲边梯形的面积变速直线运动的路程 a bx
2、y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积 （四个小矩形）（九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当
3、分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和
4、与曲边三角形面积的关系 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 全过程为：分割、近似求和、取极限. 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 （1）分割 部分路程值某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 注意: 上述两例的共同点 (1) 所求量与一个函数及区间有关. (2) 变与不变的矛盾. (3) 处理方法一样: 分割、近似求和、取极限. (4) 结果一样: 都是同一形式的和式的极限. 1.定义 二、 定积分的概念、定
5、积分的几何意义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 如果存在, 它就是一个确定的数值! 如Dirichlet函数的讨论. 若定积分存在, 则可用特殊的区间分法和点的取法 来计算定积分. (7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明) 定理1 定理2 (8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单 函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限. 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 2.定积分的几何意义 几何意义： 例1 例2 例3 3.定积分的概念习例 解 例 1 例2 解 例3 解 x y o12 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质
6、1 三、定积分的简单性质中值定理 (定积分对积分区间具有可加性) 证 性质2 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 证 性质4 性质5 性质5的推论1： 证 （1） 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论2： （2） 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 例 6 例 7 例 8 定积分的性质习例 解令 于是 解 例 6 解 例 7 解 注意: 这样证明正确吗？ 例 8 解能！如图. x y o 内 容 小 结 . 定积分的实质：特殊和式的极限 . 定积分的思想和方法： 分割化整为零 求和积零为整 取极限精确值定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3. 定积分的性质
