1、3.1.3导数的 几何意义1 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 一、复习 1、导数的定义 其中： 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。 其几何意义是？ 2:切线 P l 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线 ：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点 的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出 反例。 不能 x y o 直线与圆相切时，只有一个交点P P Q o x y y=f(x) 割 线 切线 T 1、曲线上一点的切线的定义 结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT. 点P处的割线与切线存在什么关系？ 新授 x o y y=f
2、(x) 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点 P(x0,y0) 及邻近一 点 Q(x0+x,y0+y) ,过P,Q两点作割 线 ， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 点P处的切线。 即x0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 x y P Q T 此处切线定义与以前的定义有何不同？ x y o P Q M 为什么与抛物线对称轴平行的直线不 是抛物线的切线？ 思考： Q P Pn ox y y=f(x) 割 线 切线 T 当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
3、 圆的切线定义并不适 用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将 割线趋于的确定位置的 直线定义为切线（交点 可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。 x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) M x y 割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当x0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率， x o y y=f(x) P Q1 Q2 Q3 Q4 T 继续观察图像的运动过程，还有什么发现？ 当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线
4、PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;切线斜率的本质函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个. 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 . 故曲线y=f(x)在点P(x0
5、,f(x0)处的切线方程是: 型三：数的几何意的用 例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数. （2）求曲y=f(x)=x2+1在点P(1,2)的切方程. 型三：数的几何意的用 例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y- 16=0. 练：设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率. 故所求的斜率为-2. 型三：数的几何意的用 h to 二、
6、函数的导数： 函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之 间的区别与联系。 1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的 ， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。 课堂练习: 如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。 P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路 程关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶； 小结：求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: (1)先利用切线斜率的定义求出切线 的斜率 (2)利用点斜式求切线方程. 作：P80 5
