1、小结 思考题 作业 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 第六节 微分法在几何上的 应用 第八章 多元函数微分法及其应用 1 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 1. 空间曲线的方程为参数方程 一、空间曲线的切线与法平面 微分法在几何上的应用 2 考察割线趋近于极限位置 上式分母同除以 割线 的方程为 切线的过程 微分法在几何上的应用 3 曲线在M处的切线方程 切向量 法平面 切线的方向向量称为曲线的切向量. 过M点且与切线垂直的平面. 微分法在几何上的应用 4 设曲线直角坐标方程为 法平面方程为 2. 空间曲线的方程为 曲线的参数方程是 由前面得到的结果,在M(x0, y0
2、, z0)处, 令 切线方程为 x为参数, 两个柱面的交线 微分法在几何上的应用 5 解 切线方程 法平面方程 例 即 微分法在几何上的应用 6 例 在抛物柱面 与 的交线上, 求对应 的点处的切向量. x为参数, 于是 解 所以交线上与对应点的切向量为: 交线的参数方程为取 微分法在几何上的应用 7 设空间曲线方程为 3.空间曲线的方程为 确定了隐函数 (此曲线方程仍可用方程组 两边分别对 表示.) x求全导数: 两个曲面的交线 微分法在几何上的应用 8 利用2.结果, 两边分别对x求全导数 微分法在几何上的应用 9 法平面方程为 切线方程为 在点 M(x0, y0, z0)处的 微分法在几
3、何上的应用 10 解 例 切线方程和法平面方程. 法一 直接用公式; 令 微分法在几何上的应用 11 法平面方程 切线方程 微分法在几何上的应用 12 切线方程 法二 将所给方程的两边对x求导 切线方程和法平面方程. 法平面方程 微分法在几何上的应用 13 设曲线 证 因原点 即 于是 证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点, 在任一点 中心的某球面上. 曲线过该点的法平面方程为 故有 微分法在几何上的应用 在法平面上, 任取曲线上一点 14 今在曲面上任取一条 1. 设曲面的方程为的情形 隐式方程 二、曲面的切平面与法线 微分法在几何上的应用 函数 的偏导数在该点连续且不同 时为零. 点M
4、对应于参数 不全为零. 过点M 的曲线,设其参数 方程为 15 微分法在几何上的应用 由于曲线在曲面上, 所以 在恒等式两端对t 求全导数, 并令 则得 若记向量 曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成 即向量 垂直. 16 因为曲线是曲面上过点M的任意一条曲 线, 所有这些曲线在点M的切线都与同一向量 垂直, 因此这些切线必共面, 称为曲面在点M的 微分法在几何上的应用 过点M且垂直于切 法线, 又是法线的方向向量. 向量称为曲 法向量. 切平面, 由切线形成的这一 平面, 平面的直线称为曲面在 点M的 面在点M的 17 曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量: 微分法在几何上的
5、应用 切平面方程为 法线方程为 所以曲面上在点M的 18 解 令 切平面方程 法线方程 例 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量: 微分法在几何上的应用 19 上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于 yOz平面. 解 设所求点为 则切平面的法向量为 由题意, 由此得 所求之点: 微分法在几何上的应用 20 2. 曲面方程形为 的情形 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 或 显式方程 微分法在几何上的应用 21 例 证 则法向量为 切平面方程为 微分法在几何上的应用 22 所以这些平面都过原点. 微分法在几何上的应用 23 微分法在几何上的应用 2003年考研数学(一)
6、, 3分 平行的切平面的方程是( ). 24 例 证 的所有切平面都与一常向量 平行. 则曲面在任一点处的法向量: 则 即 所以,所有的切平面均与平行. 曲面在M处的法向量: 取 微分法在几何上的应用 25 例 证 过直线L的平面束方程为 即 其法向量为 微分法在几何上的应用 求过直线L 且与曲面 相切之切平面方程. 26 设曲面与切平面的切点为则 过直线L的平面束方程其法向量为 因而 微分法在几何上的应用 27 过直线L的平面束方程为 故所求切平面方程为 或 即或 微分法在几何上的应用 28 令 解 切线方程和法平面方程. 应同时垂直于 分析曲线在点 处切线向量 s 微分法在几何上的应用 例
7、 当空间 曲线方程为 一般式时,求 切向量曾采 用了推导法. 现采用向量代数法求切向量 29 令 切线方程和法平面方程. 微分法在几何上的应用 30 因为曲面在M处的切平面方程: 全微分的几何意义 表示 切平面上的点的竖坐标的增量. 切平面 上点的 竖坐标 的增量 微分法在几何上的应用 31 其中 法向量 表示曲面的法向量的方向角, 并假定法向量的方向是向上的,即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角, 则法向量的 方向余弦为 微分法在几何上的应用 32 因为 (第三个分量为负), 求旋转抛物面 在任意点 P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角 的法向量). 解而 为向下的法向
8、量 故向上的法向量应为: 微分法在几何上的应用 33 1993年研究生考题,填空,3分 解 令 微分法在几何上的应用 得到的旋转面在点处的指向外侧的 单位法向量为( ). 旋转面方程为 34 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 微分法在几何上的应用 三、小结 (空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的 求法. 当空间曲线方程为一般式时,求切向量可 采用公式法、推导法或用向量代数法) (注意:空间曲面两种不同形式方程以及求法向 量的方向余弦时的符号) 35 思考题 思考题解答 证 两边对t求导, 得 微分法在几何上的应用 36 是曲面上任一点,则过这点的 切平面为 这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点. 微分法在几何上的应用 37 作业 习题8-6(45页) 2. 3. 4. 6. 8. 9. 10. 微分法在几何上的应用 38
