1、笙 并 手 选 展 第 卷 第 期 年 月给 付 确 定 型 养 老 金 计 划 的 动 态 最 优 控 制 徐 静 张 波 “中 国 人 民 大 学 统 计 学 院 , 北 京 。 。摘 要 考 虑 连 续 时 间 情 形 下 给 付 确 定 型 养 老 金 模 型 的 最 优 控 制 问 题 在 养 老 金 给 付 期 望 为 指 数增 长 , 目 标 函 数 为 最 小 化 贡 献 率 风 险 和 偿 付 能 力 风 险 线 性 组 合 的 假 设 下 , 得 到 了 无 风 险 投 资 时 的最 优 贡 献 率 和 最 小 风 险关 键 词 确 定 给 付 型 养 老 金 计 划 贡
2、献 率 风 险 最 优 控 制 偿 还 能 力 风 险随 着 投 保 人 对 给 付 安 全 性 以 及 保 险 公 司 对 现 金流 稳 定 性 的 日 益 关 注 , 给 付 确 定 型 养 老 金 计 划 的 动态 最 优 控 制 问 题 显 得 越 来 越 重 要本 文 讨 论 了 给 付 确 定 型 养 老 金 模 型 的 最 优 控 制问 题 , 即 在 给 付 已 知 的 情 形 下 如 何 确 定 合 理 的 缴 费率 使 得 保 险 公 司 承 担 的 风 险 最 小 或 者 效 益 最 大我 们 沿 用 文 献 巨 一 的 模 型 框 架 , 假 定 控 制 目 标 是最
3、小 化 贡 献 率 风 险 与 偿 还 能 力 风 险 的 线 性 组 合 其中 , 贡 献 率 风 险 是 指 贡 献 率 与 正 常 成 本 之 间 的 差别 , 它 代 表 计 划 的 稳 定 性 偿 还 能 力 风 险 是 指 基 金与 精 算 负 债 之 间 的 差 异 , 它 代 表 计 划 的 安 全 性 本文 的 模 型 在 无 穷 区 间 上 考 虑 , 为 此 我 们 引 人 风 险 折现 率 , 它 代 表 管 理 者 对 长 期 行 为 与 短 期 行 为 的 偏好关 于 这 个 模 型 已 经 有 许 多 研 究 , 较 有 代 表 性 的有 文 献 , 一 其 中
4、文 献 考 虑 了 常 值 给付 , 文 献 考 虑 了 受 变 量 干 扰 的 给 付 , 文献 假 定 给 付 服 从 几 何 运 动 本 文 给 出 了一 个 更 为 一 般 的 假 设 给 付 的 期 望 值 以 指 数 率 增长 在 这 一 假 设 下 , 我 们 得 到 了 满 意 的 结 果 。 上 述篇 文 章 所 给 出 的 假 设 都 可 以 看 作 本 文 的 特 殊 情 形一 时 刻 的 养 老 基 金一 担 保 人 为 在 退 休 时 刻 能 够 支 付 养 老 金 而需 要 收 取 的 费 用 , 即 缴 费 率尸 一 给 付 现 值一 正 常 成 本一 精 算 负
5、 债一 未 累 计 精 算 负 债 注 二 八 一一 追 加 贡 献 率 注 一我 们 讨 论 随 机 给 付 的 情 形 , 文 中 所 涉 及 的 所 有随 机 变 量 均 定 义 在 完 备 的 概 率 空 间 几 , 见 甲 上 ,级 , 、 。 为 少 的 完 备 的 单 调 上 升 的 右 连 续 子 代 数流 , 记 凡 一 、 纸 , 李 。 是 天 适 应 的 一 维运 动 给 付 现 值 是 义 一 适 应 的 随 机 过 程沿 用 文 献 中 模 型 , 我 们 假 定 员 工 对 给 付 的累 计 服 从 分 布 , 对 应 的 分 布 密 度 函 数 为, 表 示 未
6、 来 给 付 的 精 算 值 累 计 到 年 龄的 百 分 比 并 且 我 们 假 设 所 有 的 承 保 人 都 是 在 年 龄参 加 保 险 , 年 龄 退 休类 似 于 确 定 性 情 形 , 定 义 随 机 精 算 负 债 和 随 机正 常 成 本 如 下准 备 工 作首 先 给 出 一 些 基 本 的 记 号 、 卜 丁二 一 。 一 , 一 一 收 稿 , 一 一 收 修 改 稿国 家 社 会 科 学 基 金 批 准 号 和 教 育 部 人 文 社 会 科 学 项 目 批 准 号 。 资 助通 讯 作 者 , 一直 戮 并 乎 选 展 第 , 卷 第 期 年 月尸 一 典 份 一
7、八 乙 一 一、 一 二 一 。 一 考 虑 无 风 险 资 产 , 假 定 价 格 满 足 常 微 方 程忱 尸 十 一 典 二其 中 占 为 收 益 率 折 现 因 子假 定 与 主 要 结 果假 设 我 们 假 定 “ 稳 定 ” 增 长 , 即其 中 为 常 值 收 益 率则 基 金 的 变 化 过 程 可 由 下 面 的 随 机 微 分 方 程 给出满 足仁 。 ,级 一 , 毛仁 一 , 妻 ,一 。由 性 质 , 我 们 可 以 将 方 程 改 写 为其 中 常 数 尸 。 是 初 始 负 债 , 为 其 增 长 率显 然 它 可 以 写 成一 十 一 占 八 毛一 。 定 义
8、目 标 函 数 为其 中 是 关 于 义 的 平 方 可 积 鞍 , 且 满 足仁 一在 假 设 条 件 下 , 根 据 文 献 仁 中 定 理 , 存在 纸 适 应 的 随 机 过 程 甲 , 动 , 使 得, , , , 一 歹 一 一 ,“ 一 , 此 万 , 一 , ,“ , ,。 一 万 华 , 。其 中 为 风 险 折 现 因 子 , 参 数 镇 毛 为 两 类 风险 间 的 权 重 参 数我 们 选 取 为 控 制 变 量 , 记 值 函 数 为丁 , 田 “ 川 纸 一 纸则 给 付 过 程 满 足 如 下 。 方 程一 甲 , 。 , ,尸 一 尸 。为 解 决 控 制 问
9、题 我 们 还 需 要 如 下 几 条 假 设假 设 ,占 一 介 对 于 无 风 险 情 形 这 是 必 然 的对 有本 文 中 仅 考 虑 甲 , 动 三 甲 的 情 形 , 则“ , 一 仁 “ 艺 , 一 。 一 一 尸 万 万 于 万 于 石 二 又 万 、 、 、 尸 ,乃 、 产 精 算 负 债 满 足 方 程, , 、 八气 匕 万 一 上 十 厂 又 一 尸 夕 户 山 之 二 。 沪 ,八 乙 一 。性 质 在 假 设 的 条 件 下 , 我 们 有这 些 假 设 在 实 际 应 用 中 并 不 苛 刻 明 显 宽于 以 往 研 究 的 假 定 , 是 自 然 成 立 的
10、、 类 似 于 文 献 假 定 给 付 服 从 几 何 布 朗 运 动 时的 技 术 性 条 件 能 保 证 养 老 金 计 划 是 稳 定 的下 面 是 本 文 的 主 要 结 果直 戮 并 手 选 展 第 , 卷 第 期 年 月定 理 在 假 设 一 下 , 最 优 控 制 问 题的 值 函 数 为尸 一 一 一 月 协 月 之音 扩 一 、 , 二 、一 , , 十 又 一 划 廿 一 月 一 二 二 二 ,忑 住 丸产 哭 一 产 天其 中天 一 二 , 一 二其 中 为 函 数 关 于 相 应 变 量 的 偏 导 数根 据 经 验 , 猜 测 最 优 控 制 问 题 的 值 函 数
11、为如 下 形 式 二 。 一 、 丁 , 尸 一、一 即 。 陇、 , ,即 一 万 一 从 又 刀 一 乙 夕 一 十 二 一乙 飞 左 一 尸 一最 优 策 略 为其 中 二 , 。 均 为 常 数 , 并 且 , 为非 负 光 滑 函 数则 , 。 。 , 必 定 满 足 如 下 个 方 程 , 一 誓 乙 , 一 才 , 那 一 乙 那 十 土 一 龙 一 二 , 气 匕 夕结 果 的 证 明在 假 设 下 , 根 据 文 献 中 定 理 , 最优 控 制 问 题 的 值 函 数 为 下 述 方 程 的 粘 性解 ,胆 一 二 龙 一 一“ , ,一 , 一 一 扮 玩 ,尸 几 一
12、一 一产 思 少 产 一 尸。 , , 、乙 、 上 一 ” 夕 一 即 一 夕 一 一 了 由 方 程 我 们 可 以 得 到其 中即 一 百协 一 十 一 产, 、 , 。叼 又 一 乙 一 十 住 万 一 土 少八 七 产 十 万 甲 龙 产 舰由 方 程 和 , 我 们 得 到如 果 我 们 设 产 一 尸 , 则 一一 尸 一 十 一 叭 将 式 代 人 式 后 与 式 相 减 得万 甲 八 乙月 之 ,一 一 一 声 十 阮 艺 一 尸 十 犷 。 川 乃 乙 一 一 砂 二下 面 我 们 将 求 解 方 程 显 然 如 果 方 程 存 在光 滑 解 , 并 且 关 于 , 是 严
13、 格 凸 的 , 则 能 够 使由 上 式 我 们 可 以 解 出得 风 险 达 到 最 小 的 追 加 贡 献 率 为 将 其 代 人 式 可 得丽 “ 卜 一 弓 一 伽 一 片 “ 一 ,“ 。 直 , 毅 并 手 选 展 第 卷 第 期 年 月丁 一 。 , 证 明取 那一 尸 沁 虹 川 一一 。 一 , 。 丁 了 二 丁 一 。 仆一 办 ,击 卜则 一 。 。 丁 二 丁 一 。 、 一 , 一 一 、 由 注 知丁 少 一 犷 , 二 一 一 一 因 此 方 程 的 解 为 二 丁 二 丁 一 尸 扩 纸 一 二 一 二 儿一 。 一 亡 ,厂 。 丁 一 、 、且 一 誓
14、一 , , ,注 一 。 犷 击 击 有 意 义 所 以其 中即 一 尸 乙 乙 一引 理即 一 户 “ 为 最 优 基 金 积 累 , 满 足 方 程因 袱 价 脱 一 。 , “ 为 增 函 数 , 在 假设 下 , 由 实 数 的 连 续 性 , 存 在 占 。 , 使 得 对 任 意有叮 一 二 一 擎 亡 竿 。 一 儿 , 由龙 左 尸 一 一 扩 占 证 明 根 据 公 式所 以 , , 、 , ,乙 一 尸 十 沪 气 叨 咖 山 气 丁 , 多 口 、 ,、 卜 一 誓 “ 艺 才誓 一 , 才 , 亡 , , ,则 由 单 调 收 敛 定 理 极 限 存 在注 容 易 看
15、出 二 , 丫 这 就 保 证了 天 的 非 负 性要 证 定 理 成 立 , 还 需 要 如 下 个 引 理引 理由 于 甲 有 界 , 若 令 一 仁 名 今 乙 习 , 则 在 等式 两 边 同 时 取 期 望 可 得必 , 一 一 等 誓 一即 一 。 肛 左 翻 , 一则自 戮 并 手 选 展 第 卷 第 期 年 月艺 , 一 。 一 誓 , 誓 一 小 口 那了 了 “ 一 即 一 占厂 二 呱 、 一 二 一 竿 。 、 、 ,、 、 龙 , 户即 一 夕双 一 厂 誓 召 一 “那 么即才 , 一 。 , 一 二 一 警 一 。娜 警 一 小丁 二 一 一 冬 、加 一 艺 艺
16、 一引 理冲 一 。 习 一由 假 设 证 明 由 公 式擎 一 ,左 二 二 , 一誓 一令 人 防 , 则二 一 竿 左显 然 , 、 ,了产万,、犷 一 誓 “ 一 。 “ 一令 一 尸 艺 “ 乙 , 一 二 一 誓 一 。 小一 娜 , 誓 一 丁 “一 一 誓 祝 “ 誓 。 一丁 二 一 一 誓 ,山 ,根 据 假 设 , 及 注 , 有 即 夕 一 韵 ,其 中 如 注 中 所 定 义 那 么显 然。 二 、 , , 、乙 一 乙 下 一 一 一 飞 切 一 乙 川 一 十 二 二 一 卜左 龙其 中 如 注 中 所落邵了 丫 况 一旦一 一 二 擎 。 一 占左即 一 十 誓
17、 一 一 在 假 设 及 注 下 , 令 了定 义由 有一 产 一 占 因 此 一下澳 厂 卞 “ 一 ,一 一 , 、 。 即了 卞 “ 一 一 一二 擎 。 一 了龙一 一 二 竿 。 一 占龙自 戮 并 乎 选 展 第 卷 第 期 年 月一 尸 一 一一 夕 心了 卞 “ 一 了一 “ 一 警 。 一 了 根 据 公 式 可 得一 毛 , 如 一 。 产 产 、 华 ,即 对 任 意 的 簇 ,镇 弋 尸 一 占 。 一 。 一 。 。 十 二 。 万因 此 丁产 二 甲 刀一 一 一 弩 , 镇 一 誓 厂 “ ,在 假 设 及一 一 二 一 一 尸 、 一 二亦 即 的 条 件 下,
18、 我 们 有、 ,不 一 了 夕 一 尸 乙 二 丁 , 。 、 , 、 又矛邵万 , 祝 一 了 在 式 两 端 同 时 取 关 于 纸 的 条 件 期 望 可 得 、了、 、 , 乙 , 一二 一 擎 。 一 了左一门了 、。 誓 一一 “ 警 。 一 了一 占 ,仁 。 一 “ 。 十 。 、 一 “ 二 一 。 一 , 一 “ , ,典当 二 时 ,因 此 得 到一 一。 、 二 二 一 。 “, 一 、 、 一 下 面 给 出 定 理 证 明证 由 引 理 一 不 难 得 出 因 此 产 是 最 优 控 制 问 题 的 值 函 数 由 定 理 直 接可 得 如 下 推 论一 尸 ,
19、, 一推 论 在 假 设 一 下 、 乙 二 日 , 石 不 不 厂 爪 万七 厂 又 夕 其 中 尸 为 最 优 累 积 基 金 , 且 产 一 一 川 满 足产 思 黔 产 一 。 ,切 , 其 中 甲 为 正 常 数 , 则 最 优 控 制 问 题 归 的 值函 数 为一 尸 一 一 一 产 纸 一 尸 纸即 , 对 于 任 意 的 , 有 其 中 产 十 产 一 尸 “ 义 一 二 艺 一 二瓦 鱿 并 事 选 展 第 卷 第 期 年 月豆 兴 群 亡 , 且 最 优 策 略 为 胆 儿 , 一龙注 推 论 的 结 果 和 文 献 中 无 风 险 投 资 时 的结 果 是 一 致 的注
20、 类 似 于 文 献 中 的 讨 论 我 们 可 以 看 出 , 一 八 五 一 。 一 丫 牡 创 。 风 险 投 资 时 的 结 论在 实 际 中 我 们 都 会 假 定 给 付 是 随 机 的 , 但 我 们不 能 确 定 给 付 会 受 一 个 什 么 样 的 随 机 因 素 于 扰 , 因此 无 论 是 假 定 给 付 为 受 变 量 干 扰 的 随 机 变量 , 还 是 假 定 给 付 服 从 几 何 运 动 都 不 尽 合理 本 文 中 的 假 设 是 较 为 宽 松 合 理 的 , 但 是 我 们 这里 只 对 无 风 险 投 资 在 波 动 率 为 非 随 机 情 形 进 行
21、 了 讨论 , 而 在 实 际 中 我 们 不 可 避 免 的 要 遇 到 风 险 投 资 问题 在 风 险 投 资 的 问 题 中 一 个 重 要 的 问 题 就 是 该 如何 确 定 折 现 率 , 在 后 续 的 文 章 中 我 们 将 利 用 倒 向 随机 方 程 给 出 风 险 投 资 时 的 相 关 结 果二 一 誓 致 谢 感 谢 教 授 和 黄 向 阳 博 士 对 本文 提 出 的 建 议由参 考万 华了 尸,文 献成 立 , 那 么 基 金 的 期 望 值 将 会 随 着 时 间 的 推 移 收 敛 到精 算 负 债 , 并 且 贡 献 率 也 会 收 敛 于 正 常 成 本
22、 上 , 也 就是 说 在 我 们 的 策 略 下 养 老 金 计 划 可 以 达 到 稳 定在 实 际 中 一 般 会 有 户 二 , 那 么 式 可 以 写 成龙 丈 叮 一 一 下 二 一 一 一 于十 八 夕 一 月, ,一, , 一, 一一 , ,一容 易 看 出 如 果 夕 增 加 , 也 就 是 说 , 管 理 者 对 短 期 行为 的 关 注 增 加 , 那 么 为 了 使 养 老 金 计 划 依 然 稳 定 , 。就 需 要 减 少 目 标 函 数 中 对 偿 还 能 力 风 险 的 权 重, , 一讨 论本 文 针 对 确 定 给 付 型 养 老 金 计 划 , 以 最 小
23、 化 偿 还能 力 风 险 与 贡 献 率 风 险 为 目 标 函 数 , 讨 论 随 机 给 付 下的 养 老 金 控 制 间 题 本 文 假 定 给 付 均 值 以 一 个 确 定 的指 数 率 增 长 , 也 就 是 它 满 足 假 设 条 件 与 文献 , , 中 的 假 设 条 件 相 比 这 是 一 个 更 为 宽 松 合理 的 假 设 文 献 中 的 结 果 对 应 于 中 一的 情 形 文 献 对 应 于 一 的 情 形 文 献 对 应 于 为 运 动 指 数 鞍 的 情 形 , 而 且 从推 论 可 以 看 出 我 们 的 结 果 可 以 涵 盖 文 献 中 关 于 无, , 主, 一, , 一一 记 , , , 一, , , 一日 众 , , 一, , 一
