1、空间向量及其坐标运算环节二环节二 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示引入新课本章前半部分的主要内容空间向量的概念及其运算空间向量运算的几何意义空间向量基本定理空间直角坐标系探究新知问题1有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1 平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？答案：加法，减法，数乘，数量积探究新知问题1有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问2 你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 探究新知猜想平面向量运算的坐标表示空间向量
2、运算的坐标表示设设探究新知问题1有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问3 你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？ 答案：下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示设 为空间的一个单位正交基底，则所以利用向量数量积的分配律以及得 探究新知结论平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设设 设 探究新知问题2平面向量可以解决平面几何中的特殊位置与几何度量等问题，空间向量是否也能解决立体几何中的特殊位置与几何度量等问题？追问1 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？答案：平面向量的特殊位置关系空间向量的特殊位置关系设设当 时
3、，当 时，只有 均不为零时， 探究新知问题2平面向量可以解决平面几何中的特殊位置与几何度量等问题，空间向量是否也能解决立体几何中的特殊位置与几何度量等问题？答案：不能追问2 能否表示成 ？特殊地， 与任意向量平行当 时，探究新知结论平面向量的特殊位置关系空间向量的特殊位置关系设设当 时，当 时，探究新知问题2平面向量可以解决平面几何中的特殊位置与几何度量等问题，空间向量是否也能解决立体几何中的特殊位置与几何度量等问题？追问3 你能否给出空间向量长度和夹角的坐标表示？探究新知类比设 则平面向量的长度和夹角空间向量的长度和夹角设设设 则探究新知问题2平面向量可以解决平面几何中的特殊位置与几何度量等
4、问题，空间向量是否也能解决立体几何中的特殊位置与几何度量等问题？追问4 你能证明空间两点间的距离公式吗？答案：如图，建立空间直角坐标系 ，设 ，是空间中任意两点，于是 所以 则 探究新知完善结论为点 到原点 的距离一般到特殊设 则平面向量的长度和夹角空间向量的长度和夹角设设设 则(1)求证 ；(2)求 与 所成角的余弦值知识应用例1追问1 两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：判断垂直的依据追问2 的坐标怎么求？答案：因为 所以 如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为2， 分别是 的中点知识应用例1(1)求证 ;(2)求 与 所成角的余弦值解： (1)又所以 ，即 所以 证明：因为所
5、以 如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为2， 分别是 的中点知识应用例1如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为2， 分别是 的中点(1)求证 ;(2)求 与 所成角的余弦值分析：直线夹角的余弦值向量的数量积向量夹角的余弦值追问3 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？知识应用探究有区别，取值范围不同.当 与 所成的角为锐角或直角时：直线 与 所成的角和向量的夹角相等当 与 所成的角为钝角时：直线 与 所成的角为向量夹角的补角直线夹角的范围 向量夹角的范围 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？?知识应用例1(2)求 与 所成角的余弦值解： (2)所以所以所以 所以 与 所成角的余弦值是
6、因为 如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为2， 分别是 的中点探究新知方法提炼 空间直角坐标系 写出点坐标 向量运算 特殊位置关系 几何度量问题 向量坐标关注向量夹角与直线夹角的区别平行垂直长度夹角探究新知问题3回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案： 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示（1）空间向量运算的坐标表示:设相应坐标的和（差）实数 乘原来向量的相应坐标对应坐标的乘积的和探究新知问题3回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：（2）空间向量运算坐标表示的应用: 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示位置关系当 时，探究新知问题3回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：（2）空间向量运算坐标表示的应用: 设 则1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示度量问题探究新知问题3回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案： 2 关注空间向量与立体几何知识间的联系敬请各位老师提出宝贵意见！
