1、第四章 数列等差数列的概念教学设计第2课时 教学目标1 .能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 教学重难点 教学重点：等差数列的性质及其应用.教学难点：等差数列的性质的推导. 课前准备 PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第1617页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习等差数列的概念及其性质（2）数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前
2、启后的作用.等差数列的性质是在等差数列的概念和通项的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：什么叫等差数列？什么叫等差中项？等差数列的通项公式是什么？ 师生活动：学生回顾上节课所学知识，教师完善预设的答案： 1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2
3、A 3.等差数列的通项公式；ana1(n1)d，nN*；4.通项公式的应用；设计意图：通过回顾等差数列的定义及其中项性质，温故知新.【探究新知】知识点1等差数列的性质（1）等差数列中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列；（2）在等差数列中，为公差，若p、q、s、tN*,且pqst，则， pqst， ； 设计意图：让学生理解利用等差数列的通项公式可推得等差数列的性质：下标和相等的两项和相等.特殊地：（1）设成等差数列，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：；（2）若pq2k，则apaq2ak.追问：对于等差数列的这条性质，图中是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？师生活动：学生思
4、考后回答，教师完善.预设的答案：根据等差数列的通项是关于n的一次型函数，我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，我们可以从直线斜率的角度来解释这一性质：，pqst，p-st-q，ap-asat-aq，.设计意图：换个角度理解等差数列的性质，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.方法总结：表示等差数列的各个点均匀分布在一条直线上，这条直线的斜率是公差d，即.【巩固练习】例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购
5、进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.师生活动：与学生一起分析：该设备使用n年后的价值构成数列an，由题意可知，anan1d (n2). 即：anan1d.所以an为公差为d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（2205%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元利用an的通项公式列不等式求解教师写出规范解题过程.预设的答案：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列an由已知条件，得anan1d（n2）所以数列an是一个公差为d的等差数列.因为a1220d，所以an220d(n1)(d)220nd. 由题意，得a1011，a1111. 即：，解得19d2
6、0.9所以，d的求值范围为19d20.9.设计意图：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.方法总结：等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程. 例2 已知等差数列an的首项a12，d=8，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn 的通项公式.(2) b29是不是数列an的项？若是，它是an的第几项？若不是 ，请说明理由.师生活动：学生分组
7、讨论，派代表分析：（1）an是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.教师完善规范解题.预设的答案：（1）设等差数列bn的公差为d，b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1=8b5-b1=4d,4d=8,d=2, bn =2+2 (n-1) =2n.所以数列bn的通项公式是bn =2n.（2）数列an各项依次是数列bn的第1,5,9,13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n-3, 令4n-3=29,
8、 解得n=8, 所以，b29是数列an的第8项.追问：对于第（2）小题，你还有其他解法吗？师生活动：学生思考后回答.预设的答案：可以先通过bn的通项公式求出b29=58，再写出数列an的通项公式为an=2+8(n-1) = 8n-6,令8n-6=58，解得n=8即可.设计意图：通过该题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.结论：如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.例3 在等差数列中，（1）若，求； （2）若，求；（3）若，求 师生活动：学生讨论后回答，教
9、师给出题（3）的规范解答.预设的答案：（1），即， ；（2）=（3） 6+6=11+1，7+7=12+2， ， 从而+2 =2-=280-30=130.设计意图：通过该题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列性质的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：等差数列中，下标和相等的同等项和相等，灵活运用这条性质，可以简化运算.练习：教科书P17 练习1、2、5设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【课堂总结】1板书设计：4. 2.1等差数列的概念（2）一、探索新知二、初步
10、应用1等差数列的性质例1知识讲解1：例2例32总结概括：1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2) 等差数列的每相邻两项之间都插入k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.3) 在等差数列中，若p、q、s、tN*,且pqst，.师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力3课堂作业：教科书P17 练习3 、4补：1在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为_ 2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的
11、地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？参考答案：140 a3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2.那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费. 答：需要支付车费23.2元.【目标检测设计】1. 孟子故里邹城市曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（ ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？设计意图：通过该题进一步巩固等差数列在实际问题中的应用.2若，则= _.设计意图：通过该题进一步巩固等差数列的性质.3已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477，且ak13，则k_.设计意图：通过该题进一步巩固等差数列的性质及通项公式.参考答案：1. 2028 233 318
