1、直线与平面的夹角直线与平面的夹角1. 线线角、线面角的关系式如图所示，已知OA是平面的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面内的_设OM是内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为1，OB与OM所成的角为2，OA与OM所成的角为，则，1，2之间的关系为_(*)正射影cos cos 1cos 2知识梳理在上述公式中，因0cos 21，所以cos cos 1.因为1和都是锐角，所以1 .2. 最小角定理_和它在平面内的_所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_3. 直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_(2)如果一条直线与一
2、个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_斜线射影最小的角900知识梳理(3)斜线和它在平面内的_叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)想一想：当一条直线l与一个平面的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示不一定，这条直线还可能与平面平行射影所成的角知识梳理1直线和平面所成角的理解知识梳理2直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解知识梳理公式cos cos 1 cos 2的理解由0cos 2 1，cos cos 1 ，从而1.在公式中，令 2 90，则cos cos 1 cos
3、900.90，即当ACBC时，ACAO.此即三垂线定理，反之若90，可知290，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例知识梳理题型一用定义求线面角【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值思路探索 可作出线面角，在三角形中解出解如图，过A、E分别作AO平面BCD，EG平面BCD，O、G为垂足AO2GE，AO、GE确定平面AOD，连结GC，则ECG为CE和平面BCD所成的角知识梳理ABACAD，OBOCOD.BCD是正三角形，O为BCD的中心，连结OD并延长交BC于F，则F为BC的中点令正四面体棱长为1，知识梳理知识梳理规律方法
4、 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影知识梳理【变式1】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中点求EB与平面ABCD夹角的余弦值解取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的射影为BM，MBE为BE与平面ABCD的夹角，设PDDCa，知识梳理知识梳理知识梳理题型二由公式cos cos 1cos 2求线面角思路探索 对公式cos cos 1cos 2理解到位是解题的关键，根据图形
5、分清，1，2.知识梳理知识梳理知识梳理规律方法 公式cos cos 1cos 2在解题时经常用到，可用来求线面角1，在应用公式时，一定要分清，1，2，分别对应图形中的哪个角知识梳理【变式2】如果APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为 ()知识梳理解析如图，设A在平面BPC内的射影为O，APBAPC.点O在BPC的角平分线上，OPC30，APO为PA与平面PBC所成的角cosAPBcosAPOcosOPC，即cos 60cosAPOcos 30，答案D知识梳理知识梳理【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误(2)在求已知平面的法向量时，
6、若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量知识梳理【变式3】如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值解设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，知识梳理知识梳理方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想知识梳理(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小知识梳理思路分析建系求相关点坐标求相关向量坐标向量运算结论解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理敬请各位老师提出宝贵意见！
