1、【北师大】2021-2022学年九年级下册数学 第1章 直角三角表的边角关系 单元检测题一、选一选（每小题4分，共10小题，满分40分）1. 在Rt 中，C= 90,若 则 的值是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【详解】设A、B、C所对的边分别为a、b、c，由于sinA=，co=.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系.2. 在ABC中，A=105，B=45，cosC的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三角形的内角和，得C=18
2、0AB=30，可得cosC=cos30=，故选C考点：角的三角函数值3. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值A. 也扩大3倍B. 缩小为原来的C. 都没有变D. 有的扩大，有的缩小【答案】C【解析】【详解】根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值没有变故选C4. 如果A为锐角,且cos A,那么()A. 0A60B. 60A90C. 0A30D. 30A90【答案】B【解析】【详解】试题解析：当A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.故选B.点睛：当A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.5. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2
3、m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说确的是( )A. 斜坡AB的坡度是10B. 斜坡AB的坡度是tan10C. AC1.2tan10 mD. ABm【答案】B【解析】【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案【详解】解：斜坡AB坡度是tan10=，故B正确；故选B【点睛】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键6. 在RtABC中，C=90，co=，AB=10cm，则BC的长度为( )A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据co=0.6可得：，则BC=6cm.考点：三角函数7. 轮船从B处以每小时50海里的
4、速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里A. B. C. 50D. 25【答案】D【解析】【分析】根据题中所给信息，求出BCA=90，再求出CBA=45，从而得到ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答【详解】根据题意，1=2=30，ACD=60，ACB=30+60=90，CBA=7530=45，A=45，AB=AC.BC=500.5=25，AC=BC=25（海里）故选：D8. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的
5、长度是【 】A. 100mB. 100mC. 150mD. 50m【答案】A【解析】【详解】堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，BC=50，AC=50，（m）故选A9. 如图，小山岗的斜坡AC的坡角=45，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6，小山岗的高AB约为（ ）.（结果取整数，参考数据：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）A. 164mB. 178mC. 200mD. 1618m【答案】C【解析】【详解】试题分析：首先在RtABC中，根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在RtDBA中，用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系
6、列出方程求解即可在RtABC中，=tan=1，BC=AB，在RtADB中，=tan26.6=0.50，即：BD=2AB，BDBC=CD=200，2ABAB=200，解得：AB=200米.故选C考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题10. 如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为边AC 的中点，DEBC 于点E，连接BD，则tanDBC 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：在ABC中，BAC=Rt，AB=AC，ABC=C=45，BC=AC，又点D为边AC的中点，AD=DC=AC，DEBC于点E，CDE=C=45，
7、DE=EC=DC=AC，tanDBC=故选A考点：1解直角三角形；2等腰直角三角形二、填 空 题（每小题5分，共4 小题，满分20分）11. 在ABC中，若，A、B都是锐角，则C的度数为_.【答案】105【解析】【分析】已知，根据非负数的性质可得，即可得，根据角的三角函数值求得A、B的度数，再利用三角形的内角和定理求C得度数即可.【详解】 ， ，即，又 A、B均为锐角， A45，B30，在ABC中，A+B+C180， C105【点睛】本题考查了角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出，解决问题时还要熟知角的三角函数值12. 如图所示，四边形ABCD中，B90，AB2，CD8，ACCD
8、，若sinACB，则cosADC_【答案】【解析】【分析】首先在ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cosADC【详解】解：B90，sinACB，AB2，AC6，ACCD，ACD90，AD10，cosADC故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长13. 已知在RtABC中，C=90，AC=4，cotA=，则BC的长是_【答案】8【解析】【详解】试题分析：如图所示：在RtABC中，C=90，AC=4，cotA=，cotA=，BC=8考点：锐角三角函数的定义
9、14. 如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45，测得大树AB的底部B的俯角为30，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为_m(结果保留根号)【答案】55【解析】【分析】作CEAB于点E，则BCE和BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在RtACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度【详解】如图，过点C作CEAB于点E，在RtBCE中，BECD5m，CE5（m），在RtACE中，AECEtan 455（m），ABBEAE55（m）【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形
10、三、计算题（每小题8分，共2小题，满分16分）15. 计算： +sin45【答案】【解析】【详解】试题分析：根据角的三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案试题解析：+sin45=1+=考点：角的三角函数值16. 计算：【答案】【解析】【详解】试题分析：分别进行二次根式化简、角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可试题解析：原式=考点：1实数的运算；2零指数幂；3负整数指数幂；4角的三角函数值四、解 答 题（共8小题，满分74分。第17，18小题，每题8分，每19，20，21，22小题每题9分，第23题10分，第24题12分。17. 在RtABC
11、中，C=90，a=8，B=60，解这个直角三角形【答案】A=30，AB=16，AC=【解析】详解】试题分析：根据三角形内角和定理求出A，根据含30度角直角三角形求出AB，根据勾股定理求出AC即可试题解析：C=90，B=60，A=180-C-B=30，BC=a=8，AB=2a=16，由勾股定理得：AC= 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键.18. 如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北
12、偏西30方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间【答案】轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间15时30分【解析】【分析】首先根据题意得出BAC=30，BCD=60，从而得出BAC=CBA=30，则AC=BC，根据题意得出BDC=60，得到BCD为等边三角形，则BC=AC=CD=BD=20，从而求出船从A点到达C点所用的时间和船从C点到达D点所用的时间.【详解】解：在A处观测海岛B在北偏东60方向，BAC=30，C点观测海岛B在北偏东30方向，BCD=60， BAC=CBA=30，AC=BC.D点观测海岛在北偏西30方向 BDC=60 BCD=
13、60 CBD=60 BCD为等边三角形，BC=BD，BC=20，BC=AC=CD=20，船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，船从A点到达C点所用的时间为：2010=2（小时），船从C点到达D点所用的时间为：2010=2（小时），船上午11时30分在A处出发，D点观测海岛B在北偏西30方向，到达D点的时间为13时30分+2小时=15时30分.答：轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间15时30分19. 小明想利用太阳光测量楼高他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观
14、察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）已知小明身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果到0.1m）【答案】楼高约为20.0米【解析】【详解】解：过点作，分别交于点，则 m， m ，BGDFHD，由题意，知，解之，得BG=18.75m m楼高约为20.0米20. 如图，在数学课外实践中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60求这幢教学楼的高度AB【答案】米【解析】【分析
15、】首先根据RtAFG中AFG的正切值得出FG的长度，然后根据ACG的正切得出CG的长度，然后根据CGFG=40得出AG的长度，从而得出AB的长度【详解】解：在RtAFG中，tanAFG= FG=在RtACG中， tanACG= CG= 又CG-FG=40即AG-=40 AG=20 AB=20+1.5答：这幢教学楼的高度AB为（20+1.5）米21. 如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆ABCD相交于点O，BD两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm（1）
16、求证：ACBD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数（到0.1）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面请通过计算说明理由（参考数据：sin61.90.882，cos61.90.471，tan61.90.553；可使用科学记算器）【答案】（1）证明见解析；（2）61.9；（3）会拖落到地面，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出OAC=OCA=（180BOD）和OBD=ODB=（180BOD），进而利用平行线的判定得出即可；（2）首先作OMEF于点M，则EM=16cm，利用cosOEF=0.471，即可得出OEF的度数；（3）首先
17、证明RtOEMRtABH，进而得出AH长即可【详解】解：（1）证法一：ABCD相交于点O，AOC=BOD OA=OC，OAC=OCA=（180BOD），同理可证：OBD=ODB=（180BOD），OAC=OBD，ACBD， 证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OB=OD=85cm， 又AOC=BODAOCBOD，OAC=OBD； ACBD （2）解：在OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；作OMEF于点M，则EM=16cm； cosOEF=0.471， 用科学记算器求得OEF=61.9；（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；在RtOEM中，=30cm，过点A作AH
18、BD于点H，同（1）可证：EFBD，ABH=OEM，则RtOEMRtABH， 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm晒衣架的高度AH=120cm解法二：小红的连衣裙会拖落到地面； 同（1）可证：EFBD，ABD=OEF=61.9；过点A作AHBD于点H，在RtABH中，AH=ABsinABD=136sin61.9=1360.882120.0cm 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm晒衣架的高度AH=120cm22. 如图，现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地，甲沿线路BA行进，乙沿线路CA行进，已知C在A的南偏东55方向，AB的坡度为1：5，同时由于原因造
19、成BC路段泥石堵塞，在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H，负责抢修BC路段，已知BH为12000m（1）求BC的长度；（2）如果两个分队在前往A地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍试判断哪个分队先到达A地（tan551.4，sin550.84，cos550.6，5.01，结果保留整数）【答案】(1)、15360m；(2)、乙【解析】【详解】试题分析：(1)、利用坡度的定义得出AH的长，再利用tanHAC=，得出CH的长，进而得出答案；(2)、利用勾股定理得出AB的长利用cosHAC=，得出AC的长进而得出答案试题解析：(1)、连接AH H在A的正南方向， AHBC， AB的坡度为：1
20、：5，在RtABH中， =， AH=12000=2400（m） 在RtACH中，tanHAC=，1.4=，即CH=3360m BC=BH+CH=15360m，(2)、乙先到达目的地，理由如下：在RtACH中，cosHAC=，0.6=，即AC=4000（m），在RtABH中， =，设AH=x，BH=5x， 由勾股定理得：AB=x5.012400=12024（m），3AC=1200012024=AB， 乙分队先到达目的地考点：(1)、解直角三角形的应用-方向角问题；(2)、解直角三角形的应用-坡度坡角问题23. 如图，小明在大楼30米高（即PH30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15
21、，山脚B处的俯角为60，已知该山坡的坡度i（即tanABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上点H、B、C在同一条直线上，且PHHC（1）山坡坡角（即ABC）的度数等于 度；（2）求A、B两点间的距离（结果到0.1米，参考数据：1.732）【答案】（1）30（2）34.6米【解析】【分析】（1）根据角度的三角函数值即可求解；（2）在直角PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角PBA中利用三角函数即可求解【详解】（1）山坡的坡度i（即tanABC）为1：tanABC=，ABC=30；故答案为：30；（2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得：45在RtPBH中，在RtPBA中，答
22、：A、B两点间的距离约34.6米24. 学习“利用三角函数测高”后，某综合实践小组实地测量了凤凰山与广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角AFH=30；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上亭顶部E的仰角EGH=45；（3）测得测倾器的高度CF=DG=15米，并测得CD之间的距离为288米；已知亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与广场的相对高度AB（取1732，结果保留整数）【答案】411米【解析】【详解】试题分析：首先分析图形，构造直角三角形本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，从而可求出答案试题解析：设AH=x米，在RTEHG中，EGH=45，GH=EH=AE+AH=x+12，GF=CD=288米，HF=GH+GF=x+12+288=x+300，在RTAHF中，AFH=30，AH=HFtanAFH，即x=（x+300），解得x=150（+1）AB=AH+BH4098+15=411（米）答：凤凰山与广场的相对高度AB大约是411米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题第20页/总20页
