1、【人教版】九年级上册数学 第22章 二次函数 单元检测一、选一选(每小题3分，总计30分)1. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解【详解】y=x2-6x+5，y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4故选:C【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤；2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）A. B
2、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案【详解】A.是函数，故本题选项错误；B.，是函数，故本题选项错误；C. ，是二次函数，故本题选项正确；D.是反比例函数，故本题选项错误故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a0，自变量次数为23. 已知函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的图象判断出0，再判断二次函数的图象特征，进而求解.【详解】由函数的图象可
3、得：0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象与函数的图象，解题的关键是根据函数的图象判断出0.4. 当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（）A. B. C. D. x为任意实数【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案【详解】解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，当x1时，函数值y随着x的增大而减小；故选B【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质5. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分
4、，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A. b24acB. ac0C. 2ab=0D. ab+c=0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】抛物线与x轴有两个交点，即，所以A选项错误；抛物线开口向上，a0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，ac0，所以B选项错误；二次函数图象的对称轴是直线x=1，所以C选项错误；抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），所以D选项正确；故选D【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键6.
5、二次函数y=3(x2)25与y轴交点坐标为( )A. (0，2)B. (0，5)C. (0，7)D. (0，3)【答案】C【解析】【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.【详解】解：y=3（x2）25，当x=0时，y=7， 二次函数y=3（x2）25与y轴交点坐标为(0，7)，故选C【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数y=ax2+bx+c的最小值为4a；若1x24，则0y25a
6、；若y2y1，则x24；一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为1和其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax22ax3a，配成顶点式得y=a（x1）24a，则可对进行判断；计算x=4时，y= a51=5a，则根据二次函数的性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于b=2a，c=3a，则方程cx2+bx+a=0化为3ax22ax+a=0，然后解方程可对进行判断【详解】由二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（1，0）、点B（3，0），可得抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3
7、a，y=a（x1）24a，当x=1时，二次函数有最小值4a，所以正确；当x=4时，y=a51=5a，当1x24，则4ay25a，所以错误；点C（4，5a）关于直线x=1的对称点为（2，5a），当y2y1，则x24或x2，所以错误；b=2a，c=3a，方程cx2+bx+a=0化为3ax22ax+a=0，整理得3x2+2x1=0，解得x1=1，x2=，所以正确，故选B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.8. 下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：1111.21.31.4-1-0.4
8、90.040.591.16那么方程的一个近似根是( )A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3【答案】C【解析】【详解】解：观察表格得：方程x2+3x5=0的一个近似根为1.2，故选：C【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根9. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其量就减少10个设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A. y=（x35）（4005x）B. y=（x35）（60010x）C. y=（x+5）（2005x）D. y=（x+5）（20010x）【答案】A【解析】【分析】设商品的售价为x元，则每个
9、商品的利润为（x-35）,根据题意求出量200-，进而求解.【详解】设商品的售价为x元，获得利润为y元,由题意得：y=（x35）（4005x），故选A.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是“商品单价每上涨2元，其量就减少10个”.10. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、CD四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BECFx cm，要使包装盒的侧面积，则x应取（）A. 30cmB. 25cmC. 20cmD. 15cm【答案】C【解析】【详解】试题解析：解：设
10、包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（40x），0x40S=4ah=8x（40x）=8（x20）2+3200，当x=20cm时，S取值故选C点睛：考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力属于基础题二、 填 空 题(每题4分，总计20分)11. 已知二次函数y=x24x+m的最小值是2，那么m的值是_【答案】2【解析】【分析】先把y=x2-4x+m配成顶点式得到y=（x-2）2+m-4，根据二次函数的性质得到当x=2时，y有最小值为m-4，根据题意得m-4=-2，然后解方程即可【详解】y=x-4x+m=(
11、x-2)+m-4，a=10，当x=2时，y有最小值为m-4，m-4=-2，m=2故答案为2【点睛】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c（a0），当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有点，所以函数有最小值，当x=时，y= ；当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有点，所以函数有值，当x=时，=12. 如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是yax2；ybx2；ycx2；ydx2则a、b、c、d的大小关系为_【答案】abdc【解析】【分析】设x=1，函数值分别等于二次项
12、系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，abdc故答案为：abdc【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取点的方法，比较字母系数的大小13. 如果抛物线y=x2+（m1）x+3点（2，1），那么m的值为_【答案】2【解析】【分析】把点（2，1）代入y=x2+（m1）x+3，即可求出m的值.【详解】抛物线y=x2+（m1）x+3点（2，1），1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关
13、系式.14. 一抛物线和抛物线y=2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（1，3），则该抛物线的解析式为_【答案】y=2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1【解析】【详解】由题意可知：该抛物线的解析式为y=2(xh)2+k，又顶点坐标(1，3)，y=2(x+1)2+3=-2x2-4x+1，故答案为y=2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1.15. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t在飞机着陆滑行中，4s滑行的距离是_m【答案】24【解析】【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20
14、-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出4s滑行的距离【详解】y=60t=(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m，当t=20-4=16时，y=576，600-576=24，即4s滑行的距离是24m，故答案为24【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题三解 答 题（共7小题70分）16. 已知一个二次函数的图象A（0，3），B（1，0），C（m，2m+3），D（1，2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标【答案】y=2x2+x3，C点坐标为（，0）或（2，7）【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
15、，把A（0，3），B（1，0），D（1，2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.【详解】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，3），B（1，0），D（1，2）代入得，解得，抛物线的解析式为y=2x2+x3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m3=2m+3，解得m1=，m2=2，C点坐标为（，0）或（2，7）【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解17. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1) （1）求抛物线的函数表达式；（2）
16、连结OC，求出的面积.【答案】（1） ；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）将点B的坐标代入中解出的值即可得到抛物线的解析式；（2）由（1）中所得抛物线解析式和直线的解析式组合构成方程组，解方程组即可求得点C的坐标，点A的坐标即可求得AOC的面积.试题解析：（1）把点B的坐标（1，1）代入得：，抛物线的解析式为：；（2）由 解得： ， ，点C第二象限，点C的坐标为，点A的坐标为（2，0），OA=2，SAOC=OA4=4.18. 已知二次函数y=ax2+bx3（1）若函数图象点（1，4），（1，0），求a，b值；（2）证明：若2ab=1，则存在一条确定的直线始终与该函数图象交于两点【答案】(1
17、) a=1，b=2；(2)见解析.【解析】【分析】(1)把点（1，4），（1，0）代入y=ax2+bx3 即可求解;(2)把b=2a代入y=ax2+bx3，得出两点的坐标，验证即可.【详解】（1）二次函数y=ax2+bx3的图象点（1，4），（1，0），代入得：，解得：a=1，b=2；（2）证明：2ab=1，b=2a1，y=ax2+bx3=ax2+（2a1）x3=（x2+2x）ax3，令x=0时，y=3，令x=2时，y=1，则二次函数y=ax2+bx3的图象定点（0，3）和（2，1），若直线过（0，3）和（2，1），则永远与二次函数交于两点，此直线的解析式是y=x3【点睛】本题考查了二次函数图
18、象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意根据二次函数图象上点的坐标得出关系式.19. 一类产品进价6元，标价12.5元，打8折出售，每天可卖100件现在市场上每降1元可多卖40件若每天的利润达到420元，则必须降多少元？降价多少元时，利润达到，并求此时的利润【答案】(1) 0.5元或1元;(2) 降价0.75元时，利润达到，此时的利润为422.5元【解析】【分析】由题意可得利润=售价-进价,降低1元增加40件,可知降低x元增加件,一件商品的利润乘以量得到总利润,可列出方程;设每件需降价的钱数为x元,每天获利y元,则可求出y与x之间的函数关系式,写成顶点式后直接解答.【详解】（12.50.86x）
19、（100+40x）=420整理得2x23x+1=0，解得x1=0.5，x2=1，答：若每天的利润达到420元，则必须降0.5元或1元设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=（12.50.86x）（100+40x）即：y=402+60x+400=40（x0.75）2+422.5，当x=0.75元时，y为422.5即降价0.75元时，利润达到，此时的利润为422.5元【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用,根据题意掌握问题中的基本数量关系是解决问题的关键.20. 某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m（1）若养鸡场面积为16
20、8m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长（2）养鸡场面积能达到吗？如果能，请你用配方法求出；如果没有能，请说明理由【答案】(1) 14米;(2)见解析.【解析】【分析】(1)首先设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米,然后根据题意可得方程x(40-2x)=168,即可求得x的值,又由墙长25m,可得x=14,则问题得解;(2)设围成养鸡场面积为S,由题意可得S与x的函数关系式,由二次函数值的求解方法即可求得答案.【详解】（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，则 x（402x）=168，整理得：x220x+84=0，解得：x1=14，x2=6，墙长25m，0BC25，即0402x25，解得：7.
21、5x20，x=14答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米（2）围成养鸡场面积为S，则 S=x（402x）=2x2+40x=2（x220x）=2（x220x+102）+2102=2（x10）2+200，2（x10）20，当x=10时，S有值200即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积，值200米2【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与求出二次函数的解析式.21. 路桥方林汽车城某4S店某种型号的汽车，每辆车的进货价为15万元，市场调研表明：当价为21万元时，平均每周能售出6辆，而当价每降低0.5万元时，平均每周能多售
22、出3辆，如果设每辆汽车降价x万元，平均每周的利润为W万元（1）该4S店要想平均周获得72万元的利润，并且要尽可能地让利于顾客，则每辆汽车的定价应为多少万元？（2）试写出W与x之间的函数关系式，并说明当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的利润？利润是多少万元？【答案】(1) 18万元；(2) 每辆汽车的定价为万元时，均每周的利润，利润是万元.【解析】【分析】(1)根据利润=一辆汽车的利润汽车数量,一辆汽车的利润=售价-进价,降低售价的同时,量就会提高,“一减一加”,根据每辆的盈利的件数万元,即可列方程求解;(2)根据利润=一辆汽车的利润汽车数量,即可列出函数关系式,然后确定值.【详解】（1）设
23、每辆汽车的降价为x万元，根据题意得：（21x15）（6+6x）=72，解得x1=2，x2=3，尽可能地让利于顾客，x=3，答：每辆汽车的定价应为18万元；（2）根据题意得：W=（21x15）（6+6x）=x2+5x+6，即：W=（x）2+，当x=时，W=，每辆汽车的定价为万元时，均每周的利润，利润是万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用 ,解题关键是根据题意找到等量关系:每辆的盈利的件数=72万元是解决问题的关键.22. 如图，已知抛物线y=（x1）2+k的图象与x轴交于点A（1，0），C两点，与y轴交于点B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）在抛物线上是否存在点P使SPA
24、C=SABC？若存在，求出P点坐标，若没有存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若没有存在，请说明理由【答案】(1) y=x22x3，点B坐标为（0，3）;(2)见解析;(3)见解析.【解析】【分析】(1)把A(-1,0)代入抛物线y=（x1）2+k,求出k即可解决问题.(2)存在.先求出ABC的面积,再根据已知条件求出点P的纵坐标,利用待定系数法即可解决问题.(3)存在.分三种情形讨当AQ=AB时,有两种情形a、当在x轴上方,;b、当 在x轴下方时,利用勾股定理即可解决问题.当BA=BQ时,此时Q在x轴上,即(1,0)当QA=QB
25、时,点Q在AB的垂直平分线上,求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题.【详解】（1）把A（1，0）代入抛物线y=（x1）2+k得，0=4+k，k=4，抛物线解析式为y=（x1）24，即y=x22x3，令x=0，得y=3，点B坐标为（0，3）（2）存在如图1中，理由：令y=0，则x22x3=0，x=1或3，点A（1，0），C（3，0），SABC=43=6，SPAC=SABC，SPAC=，设P（m，n），则有4|n|=，n=，当n=时，m22m3=，解得m=或，此时P（，）或（，），当n=时，m22m3=，解得m=或，此时P（，）或（，）综上所述，满足条件P点坐标为（，）或（，）或（，）或（
26、，）（3）如图2中，存在当AQ=AB时，有两种情形a、当Q1在x轴上方，此时Q1（1，）；b、当Q2在x轴下方时，此时Q2（1，）当BA=BQ时，此时Q在x轴上，Q3（1，0）当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，A（1，0），B（0，3），直线AB解析式为y=3x3，线段AB的中点为（，），设线段AB的中垂线的解析式为y=x+m=+m，m=，线段AB的中垂线的解析式为y=x，与对称轴的交点Q4（1，1），综上所述，满足条件的点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，0）或（1，1）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：函数、待定系数法、平行线的性质及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学的知识来解决问题，还要注意运用分类讨论的思想.第16页/总16页
