1、第27章 相似 专项训练专训1证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换 构造平行线法1如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AECFBFEC.(第1题)2如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F，试证明：ABDFBCEF.(第2题) 三点找三角
2、形相似法3如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：.(第3题)4如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.(第4题) 构造相似三角形法5如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.(第5题) 等比过渡法6如图，在ABC中，ABAC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDFABE.求证：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.(第6题)7如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作
3、BGAP于点G，交CE于点D.【来源：21cnj*y.co*m】求证：CE2DEPE.(第7题) 两次相似法8如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：.(第8题)9如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M，N.求证：(1)AMBAND；(2).(第9题) 等积代换法10如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.(第10题) 等线段代换法11如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD上一点，CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，21cnjycom求证：BP2PEPF.(第11题)12已
4、知：如图，AD平分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PBPC.(第12题)专训2巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法相似三角形的四类结构图：2-1-c-n-j-y1.平行线型2相交线型3子母型4旋转型 平行线型1如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D.(1)求证：AEBCBDAC；(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的长(第1题) 相交线型2如图，点D，E分别为ABC的边AC，AB上的点，BD，
5、CE交于点O，且，试问ADE与ABC相似吗？请说明理由(第2题) 子母型3如图，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：.(第3题) 旋转型4如图，已知DABEAC，ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2).(第4题)专训3利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法www-2-1-cnjy-com 证明两线段的数量关系证明两线段的相等关系1如图，已知在ABC中，DEBC，BE
6、与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BMMC.(第1题)2如图，一直线和ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AECEBFCF.求证：ADDB.(第2题)证明两线段的倍分关系3如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，A60，求证：DEBC.(第3题)4如图，AM为ABC的角平分线，D为AB的中点，CEAB，CE交DM的延长线于E.求证：AC2CE.(第4题) 证明两线段的位置关系证明两线段平行5如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DECD，DECD，连接CE，AE.求证：AEBC.【出处：21教育名师】
7、(第5题)6在ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EFBC，DFAB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.(1)如图，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明 (第6题)证明两线垂直7如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC2ABAD，BC2BABD，求证：CDAB.(第7题)8如图，已知矩形ABCD，ADAB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EGDF.(第8题)专训4相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点
8、命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答 相似三角形与一次函数1如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx3与x轴交于点C，与直线AD交于点A，点D的坐标为(0，1)(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当BOD与BCE相似时，求点E的坐标(第1题) 相似三角形与二次函数2如图，直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yax2bxc经过A，B，C(1，0)三点(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(1，0)，在直线yx3上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标(第2题)3如图，直线y2x2与
9、x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线yx2bxc与直线BC交于点D(3，4)(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(第3题) 相似三角形与反比例函数4如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y(x0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且FBCDEB，求直线FB对应的函数解析式(第4
10、题)专训5全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧 3个概念成比例线段1下列各组线段，是成比例线段的是()A3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是_m.相似多
11、边形3如图，已知11，22，33，44，DD，试判断四边形ABCD与四边形ABCD是否相似，并说明理由(第3题)位似图形4如图，在ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是ABC.设点B的对应点B的坐标是(a，b)，求点B的坐标(第4题) 2个性质平行线分线段成比例的性质5如图，在RtABC中，A90，AB8，AC6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度过点D作DEBC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解
12、析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，BDE的面积有最大值，最大值为多少？ (第5题)相似三角形的性质6如图，已知D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长(第6题) 1个判定相似三角形的判定7如图，ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DECD，DECD，连接AE，过C作COAB于O.求证：ACEOCD.(第7题)8.如图，在O的内接ABC中，ACB90，AC2BC，过点C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线A
13、P交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.21*cnjy*com(1)求证：PACPDF；(2)若AB5，求PD的长(第8题) 2个应用测高的应用9如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)测宽的应用10如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有
14、三棵树，求河的宽度(第10题) 1个作图作一个图形的位似图形11如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和ABC.请以点O为位似中心，把ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出ABC的位似图形(第11题) 1个技巧 证明四条线段成比例的技巧12如图，已知ABC，BAC的平分线与DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2CMBM.(第12题)答案(第1题)1证明：如图，过点C作CMAB交DF于点M.CMAB，CMFBDF.又CMAD，ADECME.D为AB的中点，.，即AECFBFEC.2证明：过点D作DG
15、BC，交AC于点G，DGFECF，ADGABC.，.ADCE，.，即ABDFBCEF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题3证明：四边形ABCD是平行四边形AEDC，AC.CDFE，DAEFCD，.4证明：DMBC，BAC90，BBEM90，DDEA90.BEMDEA，BD.又M为BC的中点，BAC90，BMAM.BBAM.BAMD.又AMEDMA.AMEDMA.AM2MDME.(第5题)5证明：如图，连接PM，PN.MN是AP的垂直平分线，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等边三角形，BC1360.2460.56120.
16、又67180C120.57.BPMCNP.，即BPCPBMCN.6证明：(1)ABAC，ABCACB.DEBC，ABCBDE180，ACBCED180，CEDBDE.又EDFABE，DEFBDE.(2)由DEFBDE得，DE2DBEF.又由DEFBDE，得BEDDFE.GDEEDF，GDEEDF.，DE2DGDF，DGDFDBEF.7证明：BGAP，PEAB，AEPBEDAGB90.PPAB90，PABABG90.PABG.AEPDEB.，即AEBEPEDE.又CEAB，CEABEC90，CABACE90.又ACB90，CABCBE90.ACECBE.AECCEB.，即CE2AEBE.CE2D
17、EPE.8证明：易得BACBDF90.BE平分ABC，ABEDBF，BDFBAE，得.BACBDA90，ABCDBA.ABCDBA，得，.9证明：(1)四边形ABCD为平行四边形BD.AMBC，ANCD，AMBAND90，AMBAND.(2)由AMBAND得，BAMDAN.又ADBC，.AMBC，ADBC，AMBMAD90.BBAMMANNAD90，BMAN.AMNBAC，.10证明：ADBC，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ADEABD，得AD2AEAB，同理可得AD2AFAC，AEABAFAC，.11证明：连接PC，如图ABAC，ADBC，AD垂直平分BC，ABCACB，BPC
18、P，12，ABC1ACB2，即34.CFAB，3F，4F.又CPFCPE，CPFEPC，即CP2PFPE.BPCP，BP2PEPF.(第11题)(第12题)12证明：如图，连接PA，则PAPD，PDAPAD.BBADDACCAP.又AD平分BAC，BADDAC.BCAP.又APCBPA，PACPBA，即PA2PBPC，PD2PBPC.1(1)证明：EDBC，ADEABC.BE平分ABC，DBEEBC.EDBC，DEBEBC.DBEDEB.DEBD.，即AEBCBDAC.(2)解：设hADE表示ADE中DE边上的高，hBDE表示BDE中DE边上的高，hABC表示ABC中BC边上的高SADE3，S
19、BDE2，.ADEABC，.DE6，BC10.2解：相似理由如下：因为，BOECOD，DOECOB，所以BOECOD，DOECOB.所以EBODCO，DEOCBO.因为ADEDCODEO，ABCEBOCBO.所以ADEABC.又因为AA，所以ADEABC.21cnjy3证明：BAC90，ADBC于点D，BACADB90.又CBAABD(公共角)，ABCDBA.，BADC.ADBC于点D，E为AC的中点，DEEC.BDFCDEC.BDFBAD.又FF，DBFADF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称
20、为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在ABC中，ADBC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：AEABAFAC.可由两组“射影图”得AEABAD2，AFACAD2，AEABAFAC.21世纪教育网版权所有4证明：(1)DABEAC，DAEBAC.又ADEABC，ADEABC.(2)ADEABC，.DABEAC，ADBAEC.1证明：DEBC.NEOMBO.同理可得.DEBC，ANEAMC.同理可得，.MC2BM2.BMMC.(第2题)2证明：如图，过C作CGAB交DF于G点CGAB，ADBD.3证明：BDAC，CEAB，A60，ABDACE30，.又AA，ADEAB
21、C，DEBC.21*cnjy*com4证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.ABCF，BAMF，BDMCEM，BAMCFM，.又BA2BD，CF2CE.又AM平分BAC，BAMCAM，CAMF，ACCF，AC2CE.(第4题)(第5题)5证明：如图，过点C作COAB于点O.DECD，DECD，ECDCED45.ABC是等腰直角三角形，CABB45.CABCED.又AOCEDC90，ACOECD.又ACEECOOCDECO45，ACEOCD.ACEOCD.CAECOD90.又ACB90，CAEACB180.AEBC.6解：(1)MNACED.证明如下：EFBC，AEMABD，AMFADC，.
22、E为AB的中点，EFBC，F为AC的中点又DFAB，D为BC的中点，EMMF.F为AC的中点，FNAE，N为EC的中点，从而MNAC.又D为BC的中点，E为AB的中点，EDAC，MNACED.(2)MNAC.证明如下：EFBC，AEMABD，AMFADC，.又DFAB，.又MENFEC，MENFEC.EMNEFC.MNAC.7证明：AC2ABAD，.又AA，ACDABC.ADCACB.又BC2BABD，.又BB，BCDBAC.BDCBCA.ADCBDC.BDCADC180，ADCBDC90.CDAB.8证明：ADAB，点E，F把AB三等分，设AEEFFBADk，则ABCD3k.CDAB，DCG
23、FAG，CDGAFG.AFGCDG，.设FG2m，则DG3m，DFFGDG2m3m5m.在RtAFD中，DF2AD2AF25k2，DFk.5mk.mk.FGk.，.又AFDGFE，AFDGFE.EGFDAF90.EGDF.1解：(1)设直线AD的解析式为ykxb(k0)将D(0，1)A代入解析式得：解得直线AD的解析式为yx1.(2)直线AD的解析式为yx1.令y0，得x2.得B(2，0)，即OB2.直线AC为yx3.令y0，得x3.得C(3，0)，即BC5设E当E1CBC时，如图，BODBCE190，DBOE1BC.BODBCE1.www.21-cn-此时点C和点E1的横坐标相同将x3代入y
24、x1，解得y.E1.当CE2AD时，如图，BODBE2C90，DBOCBE2，BODBE2C.过点E2作EFx轴于点F，则E2FCBFE290.又E2BFBE2F90，CE2FBE2F90.E2BFCE2F.E2BFCE2F，则.即E2F2CFBF.(3x)(x2)解得：x12，x22(舍去)E2(2，2)当EBC90时，此情况不存在综上所述：E1或E2(2，2)(第1题)(第2题)2解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，抛物线经过A，B，C三点，把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入yax2bxc，得方程组解得抛物线对应的函数解析式为yx24x3.(2)如图，由
25、题意可得ABO为等腰直角三角形若ABOAP1D，则，DP1AD4，P1(1，4)；若ABOADP2，过点P2作P2Mx轴于M，ABO为等腰直角三角形，ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得DMAM2P2M，即点M与点C重合，P2(1，2)，点P的坐标为(1，4)或(1，2)21教育网3解：(1)易得A(1，0)，B(0，2)，C(1，0)设直线BD对应的函数解析式为ykxm.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入ykxm，得解得直线BD对应的函数解析式为y2x2.抛物线对应的函数解析式为yx2bxc.把B(0，2)，D(3，4)的坐标分别代入yx2bxc，得解得抛物线对应的函数解析式为y
26、x2x2.(2)存在，如图，当MONBCO时，即，MN2ON.设ONa，则M(a，2a)，a2a22a，解得a12(不合题意，舍去)，a21，M(1，2)；如图，当MONCBO时，即，MNON.设ONn，则M，n2n2，解得n1(不合题意，舍去)，n2，M(，)存在这样的点M(1，2)或(第3题)4解：(1)在矩形OABC中，点B的坐标为(2，3)，BC边的中点D的坐标为(1，3)双曲线y经过点D(1，3)，3，k3，y.点E在AB上，点E的横坐标为2.又双曲线y经过点E，点E的纵坐标为y，点E的坐标为.21世纪*教育网(2)易得BD1，BE，CB2.FBCDEB，即，CF，OF，即点F的坐标
27、为.设直线FB对应的函数解析式为yk1xb，而直线FB经过B(2，3)，F，k1，b，直线FB对应的函数解析式为yx.1C2203解：四边形ABCD与四边形ABCD相似由已知条件知，DABDAB，BB，BCDBCD，DD，且，所以四边形ABCD与四边形ABCD相似【来源：21世纪教育网】4解：如图，过点B作BMx轴于点M，过点B作BNx轴于点N，则CBMCBN.所以MCNCBMBNBCBC.又由已知条件知NCa1，BNb，BCBC12，所以MC(a1)BM(b)12.所以MC(a1)，BM.所以MO(a1)1.所以点B的坐标为.(第4题)5解：(1)DEBC，yx6(0x4)(2)SBDE2x
28、y2x(x2)26，当x2时，SBDE有最大值，最大值为6.6(1)证明：如图，D是BC边上的中点，DEBC，EBEC，B1.又ADAC，ACD2，ABCFCD.(2)解：如图，过点A作AMCB于点M.D是BC边上的中点，BC2CD.由(1)知ABCFCD，.又SFCD5，SABC20.SABCBCAM，AM4.DEBC，AMBC，DEAM，BDEBMA.由ADAC，AMBC，知DMCDBC.，DE.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键(第6题)7证明：ACB为等腰直角三角形，AB为斜边，CAB45.COAB.AOC90.又DECD，DECD，CED45，C
29、DE90.CAOCED，AOCEDC.ACOECD.ACOECD，.ACEOCD.ACEOCD.8(1)证明：由四边形APCB内接于圆O，得FPCB.又BACE90BCE，ACEAPD，所以APDFPC，所以APDDPCFPCDPC，即APCFPD.又PACPDC，所以PACPDF.(2)解：由(1)知PACPDF，所以PCAPFD.又PACCAF，所以PACCAF，所以CAFPDF，所以，则PDAFACDF.由AB5，AC2BC，ACB90，知BC，AC2.由OECD，ACB90知CB2BEAB，CEDE.所以BE1.所以AE4，CE2，所以DE2.又，AFDPCA，所以AFDPCA45.所
30、以FEAE4，AF4，所以PD.9解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图.(第9题)由AMFH知AMBFHG.又因为ABBG，FGBG，DCBG，所以ABMDCMFGH，所以.因为CD2 m，FG1.2 m，GH2 m，所以，解得CM m.因为BC4 m，所以BMBCCM4(m)所以，解得AB4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.(方法二：作垂线)过点D作DMAB于点M，如图.所以.而DMBC4 m，AMABCDAB2(m)，FG1.2 m，GH2 m，所以，解得AB4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.10解：如图，过点A作AFDE，垂足为F，并延长交BC于点G.DEBC
31、，ADEABC.AFDE，DEBC，AGBC，.解得AG75，FGAGAF753045，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定COCO，由其确定出C的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点【版权所有：21教育】解：画出图形，如图中的ABC即为所求作的图形点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形21教育名师原创作品12思路导引：(1)由角平分线的定义及BAD为平角直接可得(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PMAM，从而证明ACM与ABM相似即可(1)解：AP平分BAC，PACBAC.又AQ平分CAD，CAQCAD.PACCAQBACCAD(BACCAD)又BACCAD180，PACCAQ90，即PAQ90.(2)证明：由(1)知PAQ90，又M是线段PQ的中点，PMAM，APMPAM.APMBBAP，PAMCAMPAC，BAPPAC，BCAM.又AMCBMA，ACMBAM.，AM2CMBM，即PM2CMBM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解
