1、第九章 奇异最优控制9.1 奇异最优控制问题的提出9.2 奇异线性二次型最优控制问题9.3 奇异最优控制的算法9.4 小结 奇异最优控制问题是在以下情况下产生的。对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的，下面具体分析一下奇异最优控制问题。 9.1 奇异最优控制问题的提出 在研究时间最短和燃料最少的最优控制问题时就会涉及到奇异解问题，在时间最短最优控制问题中，应用庞特里亚金极小值原理可得(9-1) 在正常情况下，函数 在控制区间 中只有有限个零值点。控制变量在其约束的边
2、界上取值，得到的最优控制为Bang-Bang控制。但在奇异情况下，至少有一个函数 在某一区间 上恒等于零。 在线性二次型性能指标最优控制问题中也有类似的奇异情况。可以将性能指标中的被积函数取为 。其中 项的出现体现了对控制变量的约束，可以使最优控制 的值在合理的范围内。如果直接规定控制变量满足如下不等式约束 (9-2) 这时就没有必要在性能指标中出现 项了。此类问题与规范调节器的差别在于控制的不等式约束，且 。哈密顿函数 也是控制变量 的线性函数。若在控制区上 ， 只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控这时就没有必要在性能指标中出现 项了。此类问题与规范调节器的差别在于控
3、制的不等式约束，且 。哈密顿函数也是控制变量 的线性函数。若在控制区 上， 只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控 制区间 上满足 ，那么，控制变量在控制边界内取值总满足极小值原理。但是，由极小值原理同样很难解出最优控制的具体形式。考虑到上述线性二次型问题的最优控制一般情况下是由Bang-Bang控制和线性反馈控制两部分组成的。所以，对于一般的Bolza问题： (9-3)其哈密顿函数为 (9-4) 当控制变量在约束的边界范围内取值时，极值条件应为 (9-5) (9-6)条件(9-6)常称勒让德克莱勃希条件(Legaudre-lebsch Condition)。若条件(9-
4、6)只取严格的不等式符号，则称强化的勒让德克莱勃希条件。 如果在某一时间间隔 上，矩阵 是奇异的，即 或者 是非负定的，不满足强化的勒让德克莱勃希条件，则称Bolza问题为奇异的。此时的最优控制为奇异最优控制。与此对应的最优轨线部分称为奇异孤， 则称为奇异区间。(9-7) 把奇异和线性二次型这两个概念结合在一起就得到了奇异线性二次型这个概念。一个奇异线性二次型问题的奇异性等价于性能指标中的被积函数 中矩阵 的奇异性。奇异线性二次型问题可以是直接提出的，也可以作为对一般的最优控制问题应用二次变分原理的结果而产生的。9.2 奇异线性二次型最优控制问题 奇异二次型最优控制是一类常见的最优化奇异解问题
5、，该问题可以用数学语言描述如下： 考虑线性受控系统 (9-8)系数矩阵 ， 是具有适当维数的常数矩阵。控制变量受如下不等式约束(9-9)性能指标仅取为状态的二次型，即 假定其中的加权阵 和 都是非负定对称阵。(9-10)哈密顿函数 为 的线性函数，即 根据极小值原理可知，在正常弧段上最优控制具有Bang-Bang形式，即 协态方程与边界条件为 的解。(9-11)(9-12)(9-13)若存在奇异解，则在奇异弧段上有下式成立， (9-14) 这时，控制满足极小值原理，但是，由极小值原理解不出最优控制的具体形式,需要用其它方法来计算奇异弧。(9-15) 假设在某区间 上存在奇异最优控制，则式(9-
6、14)的关系在此区间上必然存在，进而必须满足 的各阶导数为零的附加条件，由此条件可以得到奇异最优控制。实际上，上述问题的奇异弧段必满足 (9-16)(9-17)假设 是非奇异阵，否则，奇异控制不存在。解得 上式表明，若存在奇异解，则奇异解必具有式(9-18)的形式。将式(9-18)和式(9-8)、(9-13)联立求解两点边值问题，可求出最优奇异弧段及其上的奇异最优控制。(9-18) 若哈密顿函数 不显含 ，且末端时间 未定，由极小值原理可知沿最优轨迹哈密顿函数值恒等于零，即式(9-14)、(9-16)和(9-19)共 个标量方程。它们共同决定 维空间 中的 维超(9-19)曲面。这是因为奇异弧
7、上的各点 满足上述 个方程。因此，若最优奇异弧存在，必在由上述 个方程所决定的超曲面上，此超曲面称为奇异超曲面。例9-1 已知二阶受控系统标量约束满足如下不等式约束(9-20)(9-21)试求系统(9-20)由已知初态 转移到坐标原点。且使性能指标为极小的最优控制。(9-22)解 哈密顿函数为 (9-23)由极小值原理可知，正常弧段上的最优控制为Bang-Bang形式，即： (9-24)相应的最优控制轨线（Bang-Bang弧段）满足如下的规范方程： (9-25)因为曲线 可能依赖于 ，所以可能存在奇异弧，满足 (9-26) (9-27) (9-28)当 是给定的有限时间， 为某一常数。若 自
8、由时，则 ，由式(9-26)(9-28)解得上式表示一个单参数的双曲线族。如果存在奇异弧，它必是某一特定双曲线的一部分。(9-29)现在进一步利用条件 (9-30)解得 (9-31)此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。现在讨论如下两种情况。 (1) 为给定的有限值，式(9-29)中的常数 取决于初态的非零值。这时，奇异弧是双曲线，它不通过原点，因此，不是最优轨线的最后一段弧线。典型的最优轨线由三段组成： 第一段控制取其边界值 ，将系统转移到奇异弧上。 第二段采用状态的线性反馈控制律(9-31)，系统沿着双曲线奇异弧运动。 第三段是再一次应用 ，使系统沿着Bang-Bang弧转移到坐标原
9、点。 下面讨论一种控制不受约束的特殊情况(见图9-l)。这时，第一段是脉冲控制（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）。脉冲控制所对应的轨线可由下式定出(9-32)图9-1最优轨线 在 相平面上，这是一条斜率为-1的直线。正的脉冲控制导致状态向右下方移动，而负的脉冲控制会使状态向左上方转移。因此，假如已知的初态为图中的 点，则最优轨线 （如图9-1所示）。利用脉冲函数的控制，系统的状态沿 等于常数的直线瞬时地由 转移到 点。 在奇异孤上，使用式(9-31)的控制律，由状态方程解得 (9-33) 的大小随时间按指数规律减小，状态按着箭头所示的方向沿奇异弧变化，当 时到达直线 。此后，再用一个负脉
10、冲控制，系统瞬时地转移到原点。 控制过程要在规定时间 完成，即要求沿奇异弧在 时刻到达直线 ，由此条件确定哈密顿函数 的常数值 。这样，就从单参数曲线族(9-29)中找出一个特定的奇异弧。设初态为 。则由上述条件不难定出(9-34)式中并可求得第一段弧与奇异弧的交点为(9-35)(9-36)(2) 若不受限制，则奇异弧(9-29)变为由此得两个可能的奇异弧段为(9-37)在弧线 上，奇异弧控制为 。由此得 (9-38)在弧线 上，奇异控制为 ，由此得其中 是奇异弧起始时刻。 如果控制受式(9-21)约束，则奇异弧只能限制在图9-2所示的 的范围内图9-2 的范围图9-3 最优轨线 将 上的控制
11、 和 代入状态方程(9-20)，可以判定沿 的运动是远离原点的，而沿 的运动则指向原点。如果末态指定为坐标原点， 不能成为最优奇异弧。若初态落在弧线 上，则沿 从初态到原点这个弧段是最优轨线。 一般情况下，初态和末态可以是 相平面上的任何点，在这种情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而，若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。 例如当初态点A为 ，原点为末态时，如图9-3所示，最优轨线的第一段是 的BangBang控制正常弧，直到该弧与 相交(交点B为 )，此后改为奇异控制 ，系统沿 一直到达原点。相应的最优轨线为ABO。 当初态远离
12、原点时，比如， ，如图9-3所示的C点，前两段分别是 的Bang-Bang控制，最后一段是沿 运动的奇异控制。显然，直线 是正常弧段转为奇异弧的开关曲线，而由 转换到 的开关线可由 倒推出来。除 外，开关线的其它部分如图9-3的虚线所示。典型的控制曲线如图9-4所示。图9-4 典型的控制曲线 综上所述，典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制两部分：前者的开关曲面是状态空间中的一个超曲面，一般情况下它不是线性的，然而，在原点附近有一部分超曲面是有界的奇异超曲面或者有界的超平面。9.3 奇异最优控制的算法 求解奇异最优控制的算法有很多，其中较为成熟的方法是正则化方法，也就是利用摄动方法
13、把一个奇异问题化成为相应的非奇异问题，这种摄动应使非奇异问题的解在某种意义上能逼近原来的奇异问题的解。所采用的正则化方法是一个很简单的方法，这就是在性能指标中的被积函数上加上一项 ，其中 是一个正的小量，其效果是对最优性能指标作了一个微小摄动。下面介绍一下正则化方法。如下的受控系统其中控制 受不等式约束 (9-40)(9-39)性能指标为 (9-41)这里 已知。 对每个自变量至少是一次连续可微的。问题是选择满足约束(9-40)的分段连续函数 ，使 最小。 如无进一步的假设，这类问题的最优控制函数是由Bang-Bang弧及奇异子弧所组成的。解正常最优控制问题，目前已有一些有效的计算方法。而计算
14、奇异控制的方法的基本思想是在性能指标的被积函数中增加 项，将性能指标(9-41)修改为 (9-42) 问题就变成非奇异的了。然后利用解非奇异最优控制的算法来解修改后的非奇异问题。可以证明，当 时， 将收敛以于式(9-41)的最小值。采用此种方法并不需要预先知道是否有奇异弧、奇异弧的段数及所在位置。算法的步骤如下: 第一步：选择一个起始值 和一个标称控制函数 ； 第二步：解所得的正则问题( )，得到最小化的控制函数 ； 第三步：选择 （例如 ），并令 ，重复步骤2，直至 停止运算，其中 是一个预先规定的小正数。 剩下的问题需要证明算法的收敛性。为此，先作两个假设： 假设1：设是定义在 上，且满足
15、(9-40)约束的 维分段连续函数的集合，且有该假设说明，式(9-41)性能指标 的下确界存在，且等于 的最小值 。(9-43) 假设 2 ：对于 ，有 其中 是使式(9-42)为最小的控制。(9-44)在上述两个假设的条件下，有如下收敛定理。 定理 对于任意正的序列 , 且 ，那么在上述两个假设条件下，有 (9-45) 定理表明，当 趋于 时，算法的解逐渐趋于原来奇异问题的解。实际上， 降低到足够小的数值时，可以得到原奇异解的一个相当好的近似。然而，当 太小时，常常会造成数值计算上的困难，为克服此种困难，人们提出了一些改进的算法。除此之外，用广义梯度法和函数空间拟牛顿法计算奇异解也是可行的。
16、9.4 小结 1.对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的。 2.求解奇异最优控制比求解正常的最优控制问题要困难得多，因为只有极小值原理还算不出最优控制律的具体形式，以至于不得不另外寻找奇异弧的其它条件，弥补奇异情况下定解条件的不足。奇异解通常是由正常弧和奇异弧所组成的。 3.求解奇异最优控制的正则化方法，也就是利用摄动方法把一个奇异问题化成为相应的非奇异问题，正则化方法是在性能指标中的被积函数中加上一项 ，其中 是一个正的小量，其效果是对最优性能指标作了一个微小摄动，这种摄动应使非奇异问题的解在某种意义上能逼近原来的奇异问题的解。
