1、第18讲 代数不等式题一： 设a，b，c为正实数，求证：abc2题二： 已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcac题三： 已知a，b，c均为正实数，且abbcca1求证：(1)abc；(2) ()题四： 已知实数满足，试求的最值题五： 已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求a2b3c的最小值题六： 已知正数满足（1）求证：；（2）求的最小值第19讲 数列的生成函数题一： 已知数列中，各项都是正数，且满足：，证明：题二： 数列中， (为常数，) ，且（）求的值； （）证明：； （）比较与的大小，并加以证
2、明 题三： 已知数列对任意的满足:，则称为“Z数列”(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；(2)已知正数列，若数列是“Z数列”，数列是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列，使得是“Z数列”；(3)若数列是“Z数列”，设求证题四： 已知函数对任意的实数(1)，nN*，设且为等比数列，求的值；(2)在(1)的条件下，设 证明： (i) 对任意的，；(ii) ，题五： 已知数列满足，()求证：；()求证：题六： 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：；存在实数,使得成立(1)数列、中，、()，判断、是否具有“性质”；(2)若各项为正数的等比数列的前项和为，且,，求
3、证：数列具有“性质”；(3)数列的通项公式()对于任意且，数列具有“性质”，求实数的取值范围第18讲 代数不等式题一： 见详解详解：因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得3，即所以abcabc而abc2 2所以abc2题二： 见详解详解：a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，2a22b22c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2由a2b2c2abbcac，a2b2c22ab2bc2ac3ab3bc3ac，(abc)23(abbcac)(abc)2abbcac综上所述，a2b2c2(abc)2abbcac，命题得证题三： 见详解详解：(1)要
4、证明abc，a，b，c为正实数，只需证明(abc)23，即证明a2b2c22ab2bc2ac3又abbcac1，只需证明a2b2c2abbcac上式可由abbccaa2b2c2证得，原不等式成立(2) 又由(1)已证abc，原不等式只需证明，即证明abcabbcca而a，b，cabcabbcca成立原不等式成立题四： ，详解：由柯西不等式得，有；即由条件可得，；解得，；当且仅当 时，等号成立，代入得，；当时，题五： （1）1；（2）9详解：(1)因为f (x2)m|x|，所以f (x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1(2)由(
5、1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式，得：所以a2b3c的最小值为9题六： （1）见详解；（2）18详解：（1）根据柯西不等式，得因为,所以（2）根据均值不等式，得，当且仅当时，等号成立根据柯西不等式，得，即，当且仅当时，等号成立综上，第19讲 数列的生成函数题一： 见详解详解：1当n=0时，a0a12，命题正确2假设n=k时有ak-1ak2则n=k+1时，而ak-1-ak04-ak-1-ak0，ak -ak+10又n=k+1时命题正确由1、2知，对一切nN时，有anan+12题二： （）；（）（）见详解详解：（）由，得，解得，或（舍去）（）证明：因为，当且仅当时，因为，所以，即 () 下面
6、证明：对于任意，有成立 当时，由，显然结论成立假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增， 所以即当时，结论也成立于是，当时，有成立（）由，可得，从而因为，所以 因为，由（） () 由 及， 经计算可得所以，当时， ；当时，；当时，由，得题三： 见详解详解：(1)设等差数列的首项，公差，所以任何的等差数列不可能是“Z数列”或者根据等差数列的性质：所以任何的等差数列不可能是“Z数列”(2)假设为正数列，是“Z数列”，是“Z数列”，所以，所以不可能是等比数列等比数列只要首项公比其他的也可以：，等比数列的首项,公比,通项公式 恒成立, 补充说明：分析：, 根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以
7、 (3)因为, 同理：因为数列满足对任意的 所以 题四： (1) ；(2)见详解详解：(1) 对于任意的x均成立, ,即 为首项,为公比的等比数列, 当,此时不是等比数列, 成等比数列, 成等比数列, ,，解得(2)在(1)的条件下, 知,(i) =,原不等式成立 解法二 (i)设,则= ；当；当取得最大值原不等式成立(ii)由(i)知，对任意的x0，有 =取)=, 则原不等式成立 题五： 见详解详解：() 证明：用数学归纳法证明(1)当时， 所以结论成立(2)假设时结论成立，即，则所以即时,结论成立由(1)(2)可知对任意的正整数，都有()证明：因为，所以，即所以题六： （1）不具有“性质”；具有“性质”；（2）见详解；（3）详解：(1)在数列中，取，则，不满足条件，所以数列不具有“性质”；在数列中，则,，所以满足条件；()满足条件,所以数列具有“性质”(2)由于数列是各项为正数的等比数列,则公比,将 代入得：,解得或(舍去)所以, 对于任意的，且 所以数列满足条件和,所以数列具有“性质” (3)由于,则, 由于任意且,数列具有“性质”,所以 即，化简得：, 即对于任意且恒成立,所以=由于及,所以即时，数列是单调递增数列，所以最大项的值为满足条件只需即可，所以这样的存在，所以即可
