1、数列与 的关系式设 为任一数列， 表示数列 的前几项和，则有 ；： 为等差数列 =d (nN且d为常数) =d (n 2, nN且d为常数)此为判断或证明数列 为等差数列的主要依据.2.公式 （1）通项公式： = +（n1）d：引申： = +（nm）d （注意：n=m+(nm) ）认知： 为等差数列 为n的一次函数或 为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n + 认知： 为等差数列 为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1) 为递增数列 d0; 为递减数列 d0; 为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3
2、)2m=p+q 2 = + .即在等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列 的前n项和,次n项和,再次n项和,则 , , 依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1） 为等比数列 =q (nN且q为非零常数) =q (n2，nN且q为非零常数)(2） 为等比数列 (n2，且 0 ) (n ，且 0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(nm) ）认知： 为等比数列 =c (
3、c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式 认知： 为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ;（2）2m=p+q 即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，则 , , ，依次成等比数列。（三）等差数列、等比数列的联系与个性等差数列与等比数列定义中的一字之差，导致它们的主要性质具有惊人的相似之处，也造就出它们之间密切联系的必然.然而，它们毕竟是两种不同的数列，各自又必然具有鲜明的个性.因此，认知联系，了解个
4、性，是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必要的基础和准备.1.联系（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即 为等比数列且 （i=1,2,n,） ( 且 )为等差数列.引申：若 为正项等比数列，且定义 ，则 亦为等差数列.（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a0且a1，则 为等差数列 为等比数列.（3） 既是等差数列，又是等比数列 是非零常数列.2.个性（1）倒数等比数列各项的倒数仍成等比数列；除常数列外，等差数列各项的倒数不再成等差数列（它们组成一个新数列，称为调和数列）.（2）中项任何两数的等差中项存在且唯一；只有两
5、个同号数才有等比中项，并且它们的等比中项是互为相反数的两个值.（3）解题策略解决等差数列基本策略：两式相减，消元化简；解决等比数列基本策略：两式相除，消元降幂.特殊数列求和函数三角函数1）课本中的公式： （2）同角公式“全家福”平方关系： .商数关系： .倒数关系： 4、 诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角 k360 （kZ）， ，180 ，360 （共性：偶数90 形式）的三角函数值，等于 的同名函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号； 90 ，270 （共性：奇数90 ）的三角函数值，等于 的相应余函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号。两类诱导公式
6、的记忆：奇变偶不变，符号看象限。（2）诱导公式的引申 ； ； .（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数 两角差的三角函数 令 2、倍角公式 ； ； 3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）： ； ； .推论2（万能公式）： ； .推论3（半角公式）： ； ； .其中根号的符号由 所在的象限决定.平面向量1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 ，这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件
7、：（i）向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使 （ii）设 则： 4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 叫做向量 与 的夹角。（ii）设两个非零向量 和 的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（内积），记作 ，即 并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）推论设 、 都是非零向量，则（i） （ii） （iii） (3)坐标表示(i) 设非零向量 ，则 (ii)设直线例2直线l过点A(3,2)，且被l1: x-3y+10=0和l2: 2x-y-8=0所截得的线段恰以A为中点，求l的方程。 圆二、例题 例1求过点M(1,2), N(3, 4)且
8、在x轴上截得的弦长为6的圆的方程. 又|CP|=|CM|，可解出a=-6或4. 圆心为C(-6, 11)或C(4,1). 当C(-6, 11)时，r2=130, 当C(4,1)时，r2=10. 故所求圆方程为(x+6)2+(y-11)2=130 或(x-4)2+(y-1)2=10. 例2求圆心在直线l1: 4x-5y-3=0上，且与两直线l2: 2x-3y-10=0和 l3: 3x-2y+5=0都相切的圆的方程. 再代入方程（*），得b=1, 从而得出r2=2, a=1. 由|a-2b|=1知a,b同号， 故所求圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2 或 (x+1)2+(y+1)2=2. 例4
9、已知定点A(3,0)，定圆x2+y2=1上有一动点B，如果AOB的平分线交AB于P点，求P的轨迹方程. 例5已知直线l: 2mx-y-8m-3=0和圆C： x2+y2-6x+12y+20=0. (1) 求证对一切mR，l与C总相交. (2) m为何值时，l被C所截得弦长最短，并求此弦长. 解：(1) l: 2mx-y-8m-3=0即m(2x-8)-(y+3)=0, 过定点M(4, -3); 又C为(x-3)2+(y+6)2=25. M(4, -3)在圆内， 故l与C总相交. 例6已知过点A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个，求a值及对应的圆的方程. 椭圆双曲线抛物线设M为椭圆上任
10、意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离） （d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、统一形式： 2、椭圆 的几何性质（1
11、）范围： （有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义） （4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 ，则 ；或 。（二）双曲线、定义与推论1定义1的认知设M为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点
12、， 分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2定义2的推论设 为双曲线 上任意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中， 为焦点 到相应准线li的距离 推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时， ；当点M在双曲线左支上时， 。、标准方程与几何性质3双曲线的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、的统一形式： 或： （3）椭圆与双曲线标准方程的统
13、一形式： 4双曲线 的几何性质（1）范围： （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点 （由此赋予a,b名称与几何意义）（4）离心率： （5）准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延伸1具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （）（1）当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+;（2）当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为： 特别：
14、与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）2弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 则（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设 为抛物线 上任意一点，则 设 为抛物线 上任意一点，则 其它情形从略。（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程： 认知：上述标准方程中
15、的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.2.几何性质对于抛物线 （1）范围： 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于x轴对称 轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率： （抛
16、物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；（2）顶点在 ，对称轴垂直y轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；顶点在 ，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；2.抛物线的焦点弦设 且PQ为抛物线 的一条经过焦点的弦.（1）弦端点同名坐标的关系 （课本P119） （推导上述命题的副产品： ，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式（） （课本P118例3引申）。（）设直
17、线PQ的倾斜角为 ，则 故有： （3） 的面积公式： ；（4）焦点半径 与 的关系 （定值）（5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式的考察：直线与抛物线交于不同两点 直线与抛物线交于一点 （相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交 说明：由于x轴是椭圆准线，长轴必垂直于x轴， 应注意条件中的焦点F与准线x轴是否是相对应的焦点、准线. 例4已知抛物线y2=2px(p0)，一条长为4p的弦，其端点在
18、抛物线上滑动.求该弦中点到y轴的最小距离. 解法二：设弦端点为A、B，弦中点为M，抛物线焦点为F，准线为l, 过A、B、M分别作AAl于A, BBl于B, MMl于M, 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化； （2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与
19、转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。（1）向弦中点问题转化例1.已知双曲线 =1（a0,b0）的离心率 ，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为 （1）求双曲线方程；（2）若直线（km
20、0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由 消去y得： 由题意知，当 时， 设 中点 则C、D均在以A为圆心的同一圆上 又 于是由得 由代入得 ，解得m4 于是综合、得所求m的范围为（2）向弦长问题转化例2设F是椭圆 的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足 （1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使 成立的直线l 的方程。分析：为避免由代换 引发的复杂运算，寻觅替代 的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为
21、O1、O2，则，故 ，据此得 于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解：椭圆C1的中心 点P分 所成的比=2。（1）点P的轨迹C2的方程为 （过程略）（2）设直线l的方程为 代入椭圆C1的方程得 ，故有 故弦AD中点O1坐标为 代入椭圆C2的方程得 ，又有 故弦BC中点O2坐标为 由、得 注意到 于是将、代入并化简得： 由此解得 。因此，所求直线l的方程为 2化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简
22、。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。（1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。例3如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线 于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一点Q，使 、 、 的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。解：设 又设直线l的方程为 代入 得 由题意得 或 且 又由题意得 作P1、Q
23、、P2在直线y=-1上的投影P1、Q、P2（如图）又令直线l的倾斜角为 则由 得 同理， 将上述三式代入得 将代入得 将代入得 于是由、消去参数k得 再注意到式，由得 或 因此，由、得所求点Q的轨迹方程为 （2）避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。例4已知 点P、Q在椭圆 上，椭圆中心为O，且 ， 求椭圆中心O到弦PQ的距离。分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，
24、避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标。解（避重就轻，解而不设）：设 则由 得 （1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程 则直线OQ的方程为 将代入椭圆方程 易得 将代入椭圆方程 易得 由、得 又在 中作 于H，于是由 及式得 = （2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得 ，从而有 。于是由（1）（2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为 。直线与圆锥曲线相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材中关于曲线交点的定位，直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助
25、于“设”。于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。二、求解交点坐标的“度”的把握个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问
26、题。例1.设斜率为2的直线与抛物线 相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使 ，求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。解：设 直线AB的方程为 。由 由题意 由韦达定理得 再设AB中点为 ，则有 ， 注意到四边形ABCD为矩形，故有 ，且 ，由此得 由（4）得 代入（5）得 化简得 再注意到中 ，由（5）得 因此由、得所求动点M的轨迹方程为 。点评：本例是“立足于一条直线与曲线相交”的问题。这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线与曲线相交引出；（2）问题中虽然出现多条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个
27、问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。这里的“解”，是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。2、真心实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例2.正方形ABCD的中心为M（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线
28、E，一条斜率为 的直线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。解：由题意设抛物线E的方程为 ，直线l的方程为 。又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k，则由 直线AM、BM的方程分别为 再设 则由 得 又点A、B在抛物线E上，故有 于是由、解得 。故得A（4，2）、B（1，1）、 因此可知，所求抛物线E的方程为 ； 所求直线l方程为 。点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关系，各条直线之间具有相对独立性。对此，我们仍然运用对交点坐标“既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与
29、曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途运用韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：（1）全心全意地设出交点坐标；（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；（3）利用（2）的结果追求既定目标。三、求解交点坐标的转换与回避解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。1、设而不解
30、这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。例1设椭圆 的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜率由点A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表出。由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助焦点半径公式求解。解：设 ，弦AC中点M(x0,y0)。由已知椭圆方程得 又运用椭圆第二定义可得 ， 由题设条件得 而 此时，注意到点A、C在椭圆 上，故有 得
31、 代入得 由此得 由、得 ，即AC中点 于是可知弦AC的中垂线方程为 在中令x=0得 由此可知，所求弦AC的中垂线在y轴上的截距为 2、不设不解这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标例2已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点， ，且 ，求椭圆的离心率。解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。设椭圆方程为 。又设 ，则由题意得 根据椭圆定义得 代入得 ，解得 再由 得 代入得 化简得 ，由此解得 。（2
32、）借助有关图形性质回避交点坐标例3已知直线l： 与 相交于A、B两点，当 时，求C的方程。提示：圆心C到弦AB的距离（弦心距） 注意到 由圆的弦的性质得 ，由此解得a的值。（3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。例4已知圆M与圆 相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知直线 ，又圆M经过点C（-2，3），D（1，4），求圆M的方程。解（利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）：设圆M方程为 又已知圆方程为 得上述两圆公共弦AB所在直线方程 由题设得 注意到点C、D在圆M上，故有 将、联立解得 所求圆M的方程为 四、高考真题1
33、.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。分析：（1）求椭圆离心率，首先要求关于a，b，c的等式。为此，从设出椭圆方程与直线AB的方程切入，运用对A、B坐标“既设又解”的策略；（2）注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标“设而不解”。解：（1）设椭圆方程为 则直线AB方程为 设 将代入椭圆方程 得 由题意 ，显然成立由韦达定理得 又 ， ， 与 共线 即所求椭圆的离心率为 （2）由（1）得 ，椭圆方程化为 设 ，由题设得 点M在椭圆上 又由（1）知，
34、而 , 将、代得 ， 即 为定值。点评：对于（1），立足于对A、B坐标“既设又解”，对 与 共线的充要条件 ，先“转化”而后“代入”，与先“代入”而后化简比较，计算量要明显减少。因此，诸如此类的问题，要注意选择“代入”的形式或时机，以求减少解题的计算量。2.P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知 与 共线， 与 共线，且 ，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：这里 ，b=1，c=1，故F（0，1）由题设知 ，四边形PMQN的面积等于 ，因此解题从求 ， 切入。解：这里 ，b=1，c=1，F（0，1），由 得 ，即 直线PQ，MN中至少有一条直线斜率存在。不
