1、湖北省华中师大一附中2015届高三上学期期中检测数学（理科）试题考试用时120分钟，满分150分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的）【题文】1已知复数的实部是，虚部是，则的值是（ ）A B. C. D. 【知识点】复数的运算 L4【答案】【解析】A解析：因为所以，即.故选A.【思路点拨】直接计算即可.【题文】2已知集合，则为（ ）A B. C. D. 【知识点】集合的运算 A1【答案】【解析】B解析：因为，所以，又所以，故选B.【思路点拨】先解出集合，再求交集即可.【题文】3下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则” B若命题：，则：C中，是的充要条件D若为假命题，则、均为假命题【知识点】命题的真假判断 A2【答案】【解析】D解析：A中由逆否命题的概念可知正确；B中特称命题的否定是
3、全称命题，正确；C中根据三角形中大边对大角可知正确；D中、至少有一个是假命题，所以错.故选D.【思路点拨】根据所学知识逐个进行检验即可得到正确答案.【题文】4.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的男生的体重大约为（ ）A70.09 B70.12 C70.55 D71.05 【知识点】线性回归方程 I4【答案】【解析】B解析：由题意可得，代入回归直线方程 所以身高为的男生的体重大约为，故选B.【思路点拨】由题意可得回归直线方程过点可求，代入身高即可求出男生体重.【题文】5已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P
4、落入区域A的概率为（ ）A. B. C. D. 【知识点】几何概型 K3【答案】【解析】D解析：联立得，解得或 ，设曲线与曲线围成的面积为S，则 ,而，表示的区域是一个边长为2的正方形，上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率，故选D 【思路点拨】本题利用几何概型求解欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可为了求出阴影部分的面积，联立由曲线和曲线两个解析式求出交点坐标，然后在）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可.【题文】6已知函数（其中），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析
5、式为（ ）A. B.C. D.【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换C4【答案】【解析】B解析：由函数的图象可得， 再由五点法作图可得， ，函数 将 的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数的图象；再向右平移1个单位得到的图象，故 函数g（x）的解析式为 故选：C【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论【题文】7已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】A解析
6、：由已知三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等所以三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积 故答案为：A【思路点拨】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积【题文】8若满足条件，当且仅当时，取最小值,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【知识点】简单线性规划 E5【答案】【解析】C解析：条件对应的平面区域如图： 因为目标
7、函数（其中），仅在处取得最大值，令得，所以直线的极限位置应如图所示，故其斜率需满足 故答案为：.所以选C.【思路点拨】先画出可行域，根据题中条件目标函数（其中），在处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出a的取值范围【题文】9若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）A B C D 【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D解析：双曲线方程为，即 双曲线的左顶点为，右顶点为，设，得直线PA的斜率为 ；直线PB的斜率为 （1）是双曲线上的点 ，得，代入（1）式得 直线的倾斜角分别为，得 是第一象限内双曲线上的点，
8、得均为锐角 ，解之得 故选：D【思路点拨】设，得直线PA、 PB的斜率为 （1）由点P是双曲线上的点，得，整理得由斜率与倾斜角的关系，得，结合三角函数诱导公式，得，最后根据化简整理，即可得到本题的答案【题文】10函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D上为非减函数,设函数在0,1上为非减函数,且满足以下三个条件:;,则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【知识点】抽象函数及其应用 B10【答案】【解析】B解析：函数在上为非减函数， 令，所以有 ，又 令，有 ，令 ，有 ， ，非减函数性质：当时，都有 ， ，有 而，所以有 ，则故选B. 【思路点拨】由已知条件求出的值，利用当时，
9、都有，有而有，代入结果可求【题文】二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（1114题）【题文】11已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是_（用数字作答）【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】解析：第一次循环：； 第二次循环得：； 第三次循环得：； 第四次循环得；不满足判断框中的条件，输出 的展开式的通项为： ,令得,常数项为 故答案为：【思路点拨】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项.【题文】12在中，与交于点，设=，=， 则 (用,表示)【知识点】向量的线性运算性质及几何意义 F1【答案
10、】【解析】 解析：三点共线，三点共线， ，即 ，且，所以， 所以故答案为：【思路点拨】由三点共线，知；由三点共线，知，所以，所以【题文】13若正数满足，则的最小值为 【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】 解析：正数满足 ，当且仅当时取等号则的最小值为3.【思路点拨】利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出.【题文】14在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是 【知识点】直线与圆相交的性质 H4【答案】【解析】 解析：圆的标准方程为 则圆心，半径， ，当时S取最大值16，此时为等腰直角三角形， 则C到AB距离= ,，即 ， 即， ，解得
11、或，故答案为：.【思路点拨】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论.【题文】（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）【题文】15（选修：几何证明选讲） 如图，为外接圆的切线，平分，交圆于，共线若,，则圆的半径是 【知识点】与圆有关的比例线段 N1【答案】【解析】 解析：如图所示，连结，为圆O的切线，为的平分线，又，由，得在中，是圆O的直径，且直径，圆O的半径为2故答案为：2【思路点拨】连结AD，由PB为圆O的切线，得，结合为的平分线，可得，在中，由，得，由与的内角关系得A
12、D的长度，即得圆O的半径【题文】16（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是 【知识点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程 N3【答案】【解析】 解析：由曲线的参数方程是，平方相减可得，曲线的极坐标方程是，展开得，化为，联立 ，化为，得或， 或此两曲线交点间的距离为，故答案为：.【思路点拨】由曲线的参数方程是，平方相减可得，曲线的极坐标方程是，展开得，化为，联立 即可求出两交点坐标，利用两点间距离公式即可求解.【题文】三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证
13、明过程或演算步骤)【题文】17（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.（）求角的大小； （）若向量,试求的取值范围【知识点】正弦定理 余弦定理 C8【答案】【解析】（）（）解析：()由题意得，即，由正弦定理得，再由余弦定理得，.6分() ，所以，故.12分【思路点拨】：()由题意得，即再结合正弦定理余弦定理即可求出角.() ，可求，所以.【题文】18（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，（）求数列和的通项公式（）数列满足，求数列的前项和【知识点】等差数列性质,等比数列性质,错位相减法求和 D2 D3 D4【答案】【解析】（），（）解析：（）设的公差为，的公比为，
14、由，得，从而，因此，又， ，故， 6分（）令则9分两式相减得，故 12分【思路点拨】（）由数列通项公式分别设出通项，根据题意直接求解即可. （）数列满足，可知数列为差比数列，此类数列求和一般应用错位相减法.【题文】19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，（）点在线段上，试确定的值，使平面 .（II）在（）的条件下，若平面平面，求二面角D 的大小.【知识点】线面平行，二面角 G4 G10【答案】【解析】（）（）解析：（I）当时，平面证明：连交于，连由可得，所以若，即， ，由平面，故平面6分 （II）由，为的中点，则又平面平面，所以平面，连，四边形为菱形， 由得为正三角形
15、，又为的中点， ，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为，设平面的法向量为，可得，令z=1，解得，取平面ABCD的法向量，设所求二面角为，而为锐角，则 , 故二面角的大小为6012分【思路点拨】（I）连交于，连由可得，所以，即.（II）由，为的中点，则，设平面的法向量为，平面ABCD的法向量，则，即可求出二面角.【题文】20（本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段后得到如下图所示的频率分布直方
16、图. （）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?（）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（）若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及数学期望.【知识点】频率分布直方图，分布列与数学期望 I2 K6【答案】【解析】（）系统抽样（）中位数的估计值为（）的分布列为均值. 解析：（I）系统抽样 2分 （II）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于， 设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估计值为 ,解得 即中位数的估计值为 6分 （）从图中可知，车速在的车辆数为（辆）.车速在的车辆数为（辆）， 的分布列为均值. 12分【思路点拨】（II）众数的估计值
17、为最高的矩形的中点（）由题意求出 即可求得分布列与期望.【题文】21（本小题满分13分）已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切 （）求椭圆C的标准方程 （）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且 求证：的面积为定值. 在椭圆上是否存在一点P，使为平行四边形，若存在，求出的取 值范围，若不存在说明理由.【知识点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（）（）略不存在P在椭圆上的平行四边形解析：（）由题意得，又，联立解得，椭圆的方程为.3分（）设，则A,B的坐标满足消去y化简得， ， ，得=。，即即=.O到直线的距离=为定值. 8分若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上
18、，则设，则， 由于P在椭圆上，所以，从而化简得 化简得 （1）由知 （2）解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形. 13分【思路点拨】（）利用条件直接求解即可. （）设，则A,B的坐标满足，化简得，=为定值. 假设存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则 ，设，则， ，由于P在椭圆上，化简得 ，由知 ，联立无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形.【题文】22（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为（）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（）令，如果图象与轴交于，中点为，求证：【知识点】导数应用，函数综合B12 B14【答案】【解析】（）（） （）略 解析：（），且 解得3分 （），令，则，令，得在内，当x时，h(x)是增函数；当x时，h(x)是减函数则方程在内有两个不等实根的充要条件是即 8分（）假设结论不成立，则有 -，得 由得，即即令，（0t1)，则0在0t1上增函数 ，式不成立，与假设矛盾14分【思路点拨】（）由条件直接求解即可. （），令，可求函数的单调性，从而列出方程在内有两个不等实根的充要条件，求解即可. （）利用反证法假设结论不成立，则有 即令，（0t1)，则0在0t1上增函数 ，式不成立，与假设矛盾
