23张宇《基础30讲-概率论》.pdf

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1、张宇数学教育系刘丛书一上启航教育同烝！O主编张宇【概率论与数理统计分册】北京理工大学出朕匙张宇数学教育系列丛书一O主编张宇【概率论与数理统计分册】张宇数学教育系列丛书编委 (按姓氏拼音排序) 蔡燧林陈静静方春贤高昆轮胡金德贾建厂李志龙刘硕柳叶子吕倩秦艳鱼沈利英史明洁石臻东王慧珍王燕星吴金金徐兵严守权亦-(笔色曾凡會色张乐张青云张婷婷张宇郑利娜朱杰型北京理工大学出廣社版权专有侵权必究图书在版编目(CIP)数据张宇考研数学基础30讲.概率论与数理统计分册/张宇主编一北京:北京理工大学出版社,2021.8ISBN 978 - 7 - 5763 - 0096 - 3

2、I 张U张皿高等数学-研究生-入学考试-自学参考资料IV.013中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第166521号出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司社址/北京市海淀区中关村南大街5号邮编 / 100081电话 / (010)68914775(总编室)(010)82562903(教材售后服务热线)(010)68944723(其他图书服务热线)网址 / http: /www. bitpress, com. cn经销/全国各地新华书店印刷/河北鹏润印刷有限公司幵本/ 787毫米X1092毫米 1/16印张 / 7.5责任编辑/多海鹏字数/ 187千字文案编辑/多海鹏版次/ 2021年8

3、月第1版2021年8月第1次印刷责任校对/周瑞红定价/ 49. 80元责任印制/李志强图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换彳做3怨久啊较辭傅顷、-、史剩致72况弦代也毓敏取如坯力剂我打电;二、曲收b 砂总亍3的次、於冰润乜;三、乍箴K齐时即為彳敷孚综M、残悴知略舷次取A同吃坯沙衣力佬咗理洛传不冷仏冰初阳如乩为久汰孙！如，力二-申八R孑巧臣I 2022版前言TV 警这本书是专门供学生考研数学基础复习之用的。之所以叫张宇考研数学基础30讲,是因为将考研数学中的全部基础知识系统化和科学化地分成了 30个部分,希望考生一讲一讲地学,一关一关地过，最终建立起考研数学的基础

4、知识结构，实现真正意义上的夯实基础。一、这是真正意义上的考研数学基础教材考研数学命题并没有指定教材，学生可以自行选择市面上的各种教材进行复习，但有一个专业问题：市面上的数学教材大多是为大学数学教学而编写的，依据的是本科教学基本要求,鲜见真正意义上按照全国硕士研究生招生考试数学考试大纲（简称考试大纲）编写的数学教材，尤其是基础教材，本书就是在多年一线考研辅导基础上做出的最新成果。二、这是真正意义上的全程视频讲解我全程讲解了这本书，并且将讲解视频做了两种系统。一种是整讲观看系统:扫描书中每一讲开篇的二维码，可以观看这一讲全部的视频讲解，使得知识具有完整性和连贯性，适合第一遍起步复习。另

5、一种是逐点观看系统:扫描书中知识点旁的二维码，可以有针对性地观看对应这一知识点的视频讲解,适合第二遍查漏补缺，巩固知识。三、这是基础课笔记这是我在基础课上讲岀来的笔记,学生可以听着课跟我一页一页地学，我把笔记写好了，你可以集中精力认真听，不需再记大量笔记,我几乎把要说的话一句一句都写出来了，请务必搞懂吃透。四、这是课后作业每讲后面的习题与附录基础300题作为课后作业，所有题目均有详细解答,课后务必及时落实。五、这是答疑解惑起步阶段的复习，很多学生会遇到各种问题和疑惑:知识理解上的问题，思路方法上的疑惑。本书集中回答并希望能够切实解决学生的各种问题和疑惑。六、这是减负不是增负不论

6、你在读哪本数学教材，本书都可以作为思考总结的笔记，放在手边随时翻阅，基础阶段的知识、思路、题型和方法，皆会以清晰的结构呈现在你面前，把握在你手中。你若能再添砖加瓦，画龙点睛,将其内化为你自己的，那将是极妙的。七、看到什么程度一遍当然不够。反复修炼直至字字搞懂、句句通透并熟稔于心。1考研数学基础30讲概率论与数理统计分册感谢命题专家们给予的支持、帮助与指导，感谢编辑老师们的辛勤工作和无私奉献，感谢学生们的努力和信任。本书是我多年基础阶段教学经验的总结，愿助潜心研读者打好地基、夯实基础,勇攀考研数学高峰。2第1讲随机事件与概率.1第2讲一维随机变量及其分布 .22第3讲多维随机变量及

7、其分布 .45第4讲随机变量的数字特征 .73第5讲大数定律与中心极限定理 .88第6讲数理统计.93第7讲基础知识结构考研数学基础30讲概率论与数理统计分册%基础内容精讲、基本概念1. 随机试验称一个试验为随机试验,如果它满足以下三个条件：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；（3）每一次试验会出现哪一个结果，事先并不能确定.我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母E或 Ei，E?，表不.s 【注】在不少情况下，不能确切知道某一随机试验的全部可能结果，但可以知道它不超出某个i |范围这时

8、，也可以用这个范围来作为该试验的全部可能结果的集合.例如，需要记录某个城市一天I 的交通事故数量，则试验结果将是非负整数工无法确定乂的可能取值的确切范围，但可以把这个范 |围取为0,+兀），它总能包含一切可能的试验结果，尽管明知某些结果，如-10 000是不会出现I :的甚至把这个范围取为（一x,+x）也无妨.这里体现了一定的数学抽象，它可以带来很大的方便.纟2. 随机事件在一次试验中可能出现,也可能不出现的结果称为随机事件，简称事件,并用大写字母A,B,C等表示因讨论需要，将每次试验中一定发生的事件称为必然事件，记为O.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，记为0.2第7讲随机事件与

9、概率i i 【注】随【注】随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它f |的发生呈现出一定的规律性，这门课程正是要研究这种规律性，读者应在学习这门课程后，对此有| 较为深刻的认识. j3.样本空间随机试验的每一个可能结果称为样本点，记为3.样本点的全体组成的集合称为样本空间（或基本事件空间），记为。，即O=.由一个样本点构成的事件称为基本事件随机事件A总是由若干个基本事件组成，即A是0的子集.二、事件的关系与运算1.定义（关系:包含、相等、相容、互斥、对立;运算:和（并）、差、积（交）（1）如果事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A （或A被B

10、包含），记为ACB.（2）如果AUB且EUA,则称事件A与B相等，记为A=B. A与E相等，事实上也就是说,A与占由一些完全相同的试验结果构成,它不过是同一事件表面上看起来不同的两个说法而已.（3）称“事件A与B同时发生”的事件为事件A与B的积事件（或交事件），记为AQB或AB【注】称“有限个（或可列个）事件人，人2,，A”（）同时发生的事件为事件人，4,， I a”（）的积事件（或交事件），记为n a（或n人）. I 1=1 i= （4）若ABH0,则称事件A和E相容;若AB=0,则称事件A与B互不相容，也叫互斥.如果一些事件中任意两个事件都互斥,则称这些事件是两两互斥的，或简称互

11、斥的.（5）称“事件A与3至少有一个发生”的事件为事件A与占的和事件（或并事件），记为AUB.i i 【注】【注】称“有限个（或可列个）事件A，A，,人（）至少有一个发生”的事件为事件A，A,，I AC-）的和事件（或并事件），记为J A;（或J A,）. ?=1 h（6）称“事件A发生而事件B不发生”的事件为事件A与B的差事件，记为A-B；称“事件A不发生” 的事件为事件A的逆事件或对立事件，记为A.由定义易知A-B=A-AB=AB,B=AoAB=0MAUB=an oo（7）称有限个（或可列个）事件Ai，A，,A”（）构成一个完备事件组，如果U A（或U A）=。i = l ilAiAj

12、 = 0（对一切Hj；d,j = 1,2,（）.（8）事件的关系与运算可以用文氏图形象地表示出来（见图11）,图中的矩形表示必然事件0.3考研数学基础30讲概率论与数理统计分册A-BBCA A图1-1M=02.运算法则(1)吸收律若 AUB,则交换律 AUB=BUA,AnB=BAA.(3) 结合律(AUB)UC=AU(BUC),(AnB)nC=An(BnO.(4) 分配律 An(BUC) = (AnB)U(AnC),AU(BnC) = (AUB)n(AUC),An(B-C) = (AnB)- (AAC).(5) 对偶律(德摩根律)AOT=AnB,AnB=AUB.【【注注】（1）事件运算顺

13、序约定为先进行逆运算，然后进行交运算，最后进行并或差运算.（2）事件的关系、运算与集合的关系、运算相当，且具有相同的运算法则，所以我们可以对比着| :理解记忆，并要学会用集合关系去考虑事件关系. j三、概率的定义1.描述性定义通常将随机事件A发生的可能性大小的度量（非负值）称为事件A发生的概率，记为P（A）.2.统计性定义在相同条件下做重复试验，事件A岀现的次数&和总的试验次数九之比电称为事件A在这九次试验 n中出现的频率当试验次数充分大时，频率将“稳定”于某常数p.越大，频率偏离这个常数P的可能性越小这个常数P就称为事件A的概率.【【注注】（1）概率的统计性定义实质上是说，用频率寻作为事

14、件A的概率P（A）的估计.其直观理I ；解为某事件出现的可能性大小，可由其在多次重复试验中出现的频率去刻画.（2）从上述（1）可以看出，频率只是概率的估计，而非概率本身.也就是说，概率的统计性定义是: |无法准确给出某事件的概率的，其重要性主要基于以下两点. | 它提供了估计概率的方法比如在一批产品中抽取样品，来估计该批产品的合格率（合格率I是客观的数据，抽取样品计算出来的合格率只是一种估计）. I 它提供了一种检验某结论是否正确的准则比如，你说某批产品的合格率是95%,我们做试:|验，抽取样品进行计算，得出的结果是合格率为20%,远远低于你所说的95%,于是毫不犹豫地拒绝你的结论. j4第

15、7讲随机事件与概率3.公理化定义设随机试验的样本空间为如果对每一个事件A都有一个确定的实数P(A),且事件函数P( ) 满足：(1) 非负性:P(A)O；(2) 规范性:P(Q) = 1；(3) 可列可加性:对任意可列个两两互不相容事件A】,人，,A.,(即A4 = 0,zHj ；诂=1,2,有p( U A)=p(A),i=l i=l则称P( )为概率,P(A)为事件A的概率.【注】【注】(1)数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提，上述公理化定义只是界定j I 了概率这个概念所必须满足的一些一般性质，它不解决具体场合下的概率计算.(2) 概率P( )是事件的函数.(3) 虽然它不

16、解决具体场合下的概率计算，但是我们却常常用它来判断某事件函数P(-)是否| 是概率，这种题型在考研试题中也是经常遇到的.四、古典概型和几何概型下面研究两种非常重要的概率类型:古典概型和几何概型.(1)称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其样本空间(基本事件空间)满足：只有有限个样本点(基本事件)；每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样.如果古典概型的基本事件总数为”，事件A包含怡个基本事件,也叫作有利于A的基本事件为怡个, 则A的概率为P(A) =k_事件A所含基本事件的个数 n 基本事件总数由上式计算得出的概率称为A的古典概率.(2)称随机试验(随机现象)的概率模型为几何

17、概型，如果：样本空间(基本事件空间)0是一个可度量的有界区域；每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样，即样本点落入Q的某一可度量的子区域S的可能性大小与S的几何度量成正比，而与S的位置及形状无关.在几何概型随机试验中，如果Sa是样本空间。的一个可度量的子区域,则事件A=样本点落入区域由上式计算得出的概率称为A的几何概率.Sa的概率为”八Sa的几何度量O的几何度量【注】古典概型与几何概型的区别：基本事件有限、等可能发生的随机试验为古典概型；基本I I事件无限且具有几何度量、等可能发生的随机试验为几何概型. i0考研数学基础30讲概率论与数理统计分册五、概率的基本性质与公式1.性质(1)有

19、2-A) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)-P(An|A1A2-An-1).(6) 全概率公式:如果 Q Aj = 2,AAj = 0(i mi,j = 1,2,，九),P(A0,则对任一事件_B,有ilB = Q A,B, P(B) = p(A)P(B I A,).i= t=l(7) 贝叶斯公式(又称逆概率公式)：如果Q A = OAAj = 0(：工j ；i,j = 1,2, ,”),P(A;) 0,i=l则对任一事件B,只要P(B)0,就有6第7讲随机事件与概率P(AJB)=)P(4) = 1,2,.,“). Sp(A,)F(B I A,)1=1i 【注】(1)要注意P

20、(B)与P(B|A)的区别与联系，虽然二者都是计算事件B的概率，但前者i | P(E)实际上是在样本空间。下计算的，后者P(B|A)则是在事件A已经发生的条件下(即样本空| i间现在缩减至人)计算的.(2)全概率公式是用于计算某个“结果”B发生的可能性大小.如果一个“结果”B的发生总是与I |某些前提条件(原因、因素或前一阶段结果)A,相联系，那么在计算P(E)时，我们总是用A,对B作I !分解: j” = UA0, I$ i=1 |然后应用全概率公式计算P(B),我们常称这种方法为全集分解法.如果在“结果”3发生的条件下，I I探求导致这一“结果”的各种“原因，即A发生的可能性大小PCAJB

21、),则要应用贝叶斯公式.六、事件的独立性和独立重复试验1.事件的独立性(1)描述性定义(直观性定义)设a,b为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与3相互独立.设A1,人2，A”是(n2)个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或几个事件发生与否的影响,则称事件4 , A?,A”相互独立.数学定义设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),!iliJ称事件A与B相互独立，简称A与独立.: 【注】设A1,A2,-,A为n 心2)个事件，如果对其中任意有限个事件A, ,A12,-,A,(2=11 = fP(A

22、,),则称72个试验已帆，E”是相互独立的. ;=13.独立试验序列概型与重伯努利概型在同样条件下独立重复地进行一系列完全相同的试验，即每次试验的可能结果及其发生的概率都不变，每次试验是相互独立的，称这种重复试验序列的数学模型为独立试验序列概型如果每次试验只有两个结果A与瓦，且在每次试验中A发生的概率都相等(即P(A)=p),将这种试验独立重复次,则称这种试验为重伯努利概型.在第2讲中会看到，在九重伯努利概型中，事件A发生怡次(只管次数，不论位置)的概率为C涉且如果用X表示71重伯努利概型中事件A发生的次数，则X服从二项分布 B(n,p).【【注注】(1)事件相互独立是概率论中一个重

23、要的概念，它是定义随机试验独立性、随机变量独. 1立性的基础我们总是由试验的方式来判定事件的独立性，进而判定事件的相互独立性，再应用事: 件独立性定义中所揭示的概率关系计算与之有关的事件的概率.(2)要善于判定独立试验序列概型，只要题目中出现“将重复进行九次”“对重复观察:; ?次”等字样(注意要求每次试验只有两个结果A与兀)，或可以转换为次独立重复试验概型的问 :题，这些都是要考虑应用二项分布计算与之有关的事件的概率.基础例题精解一、事件的关系与运算随机事件的描述和运算是概率计算的基础，也是考研数学中的一个考点.(1) 求解概率试题，通常要做的是首先将实际问题符号化，即用符号及其运算来描述事

24、件,这种描述可以体现出考生求解问题的思路用简明的符号和运算准确反映题意、说明问题，是考生数学能力的一种体现.(2) 需要指出，在讨论和推断随机事件之间的关系时，采用直观的文氏图常常是一种有效的方法.(3) 此部分虽然比较基础，但很重要,将实际问题符号化的思想会伴随着概率论的整个课程.例1.1以A表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”,则其对立事件A为(）.(A) “甲产品滞销，乙产品畅销”(B)“甲、乙产品均畅销”(C)“甲产品滞销或乙产品畅销”(D) “甲产品滞销”解应选(C).8第7讲随机事件与概率例1.2先将事件符号化,再利用事件运算解答，即以A表示事件“甲产品畅销”,儿表示事件“乙产品

25、滞销”, 则其对立事件为忑=丽;=兀U兀，表示事件“甲产品滞销或乙产品畅销”，故选择(C).设A,B,C是任意三个事件，则下列选项中正确的是( ).(A) 若 AUC=BUC,则 A=_B(B) 若 A-C=B-C,则 A=B(C) 若 AC=BC,则 A=B(D) 若 AB=0AB = 0,则忑解应选(D).方法一(直接法)由事件运算的对偶律,WlB=AUB = 0=a而由AJB=Q且AB = 0,可见A 和B互为对立事件，即A=B,因此(D)正确.方法二(排除法)前三个选项都不成立，只需分别举出反例例如，由于A,B,C是任意三个事件，若取而C=Q是必然事件，则AUC=BUC且AC=_BC

26、,但从而(A)和(B)不成立.取AHB,C=0,则AC=EC,但因此(C)不成立.从而选(D).: 【注】: 【注】本题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处. j j例1.3判断下列命题是否成立,并说明理由.(1) A-(B-C) = (A-B)UC；(2) 若 AB=0且 CUA,则 BC=0；(3) (AUB)-B=A；(4) (A-B)UB=A.解(1)不成al. A-(B-C)=A-BC=ABC=A(BUC)=ABUAC=(A-B)UAC#(A-B)UC；也可由图1-2快速判断.A-(B-C)(a)(A-B)UC(b)图1-2(2) 成立.因 CUA,有 BCUAB=0,故 B

27、C=0.(3) 不成立.因(AUB)-B=(AUB)B=ABUBB=AB=A-B#A.(4) 不成立.因(A-B) UB=ABUB=(AUB)(BUB)=AUBA.: 【注】: 【注】读者可再做练习，证明下列事件的运算公式：(1) A=ABUAB；(2) AUB=AUAB.：证明(1)ABUAP=A(BUE)=AC=A.5 (2)AUAB = (AUA)(AUB)=lf2(AUB)=AUB.90考研数学基础30讲概率论与数理统计分册二、古典概型和几何概型1.古典概型计算的关键是基本事件、样本空间的选定以及基本事件数的计算.计数方法常用的有三种.（1）列举法（直接数数法）:基本事件数不多时常

28、用这种方法.（2）集合对应法:加法原理完成一件事有类办法，第一类办法中有mx种方法，第二类办法中有m2种方法,.，第类办法中有加”种方法，则完成此事共有乞种方法. 乘法原理一完成一件事有个步骤.第一步有加1种方法，第二步有加2种方法,.，第步有m种方法，则完成此事共有it 种方法.1=1 排列从个不同的元素中取出个元素，并按照一定顺序排成一列，叫作排列所有排列的个数叫作排列数，记作1理=（”一1）（“一2）（”一加+1）= .（”一m）!当m=n时,卩叮=帶=!,叫作全排列. 组合一一从个不同的元素中取出个元素，并成一组，叫作组合.所有组合的个数叫作组合数，记作祝=5_（3）逆数法:

29、先求A中的基本事件数恥将基本事件总数n减去与便得A中的基本事件数，这种方法常用于计算含有“至少”字样的事件的概率.古典概型的常见类型如下.（1）直接用定义求概率.古典概型的概率计算最基本的做法就是“数数”，数出总样本数和事件所含样本点数,在以往考研试题中也出现过这种直接数数的题型.例1.4考虑一元二次方程*+工+=0,其中E,C分别是将一枚骰子接连抛两次先后出现的点数，则该方程有实根的概率为（）(A)|36(E)疇36(C)H1 3(D)36解应选（A）.本题属于古典概型由于很难套用现有概型模式或公式求解，一个最简单也是最直接的做法是数出总样本数和事件所含样本点数并计算比值，给出答案.

30、事件所含样本点数可借助列表等手段列出各种可能的结果,然后数岀事件所含样本点数由于接连抛两次，每次都可能出现6个点数，因此其总样本数有62个.10第7讲随机事件与概率方程有实根,即事件B2-4C0,列表如下.cV1 2 3 4 5 6120 3+ + 4+ + + 05+ + + + + +6+ + + + + +其中事件B2-4C0所含样本点数为19,则卩=翟,故本题应选择（A）.（2）随机分配.随机分配也叫随机占位，突岀一个“放”字，即将个可辨质点随机地分配到N个盒子中，区分每盒最多可以容纳一个和可以容纳任意多个质点,不同分法的总数列表如下.将个质点随分配方式不同分法的总数机地分配到N每

31、盒可容纳任意多个质点N(见注1)个盒子中每盒可容纳至多一个质点P = N(N1).(N-n+l)(见注 2)【注1】每个质点均可放到N个盒子中的任何一个，即有N种放法，于是“个可辨质点j :放到N个盒子中共有N”种不同放法.【注2】质点可辨，且一个盒子容纳至多一个质点，故”个质点放到N （N$“）个盒子中的 .所有不同放法即为从N个元素中选取个元素的排列数Pd.例1.55人共钓到3条鱼，每条鱼被各人钓到的可能性相同，求:（1）3条鱼由不同的人钓到的概率;（2）有1人钓到2条鱼的概率；（3） 3条鱼由同一人钓到的概率.分析看作随机分配问题，即把鱼视作“质点（可辨）”，把人视作“盒子（可容纳任意

32、多个质点）”. 解基本事件总数为巳.（1）先从5个人中选3个人，共有q种选法，再将3条鱼给3个人，每人一条，共有3!种方法，由乘法原理，基本事件数为&3!，于是P3条鱼由不同的人钓到=讐=|=0. 48.（2）先在5个人中任选1人，有CI种选法，再从3条鱼中任取2条，有种选法，分给这个人，剩下1 条鱼随机给剩下的4个人中的一人，有（5 1）3-2 =护=4种选法，基本事件数为CQ（5 1）-2,于是110考研数学基础30讲概率论与数理统计分册卩有1人钓到2条鱼= g（；l）z=| = 0. 48.（3）5个人中任选1人，有a种选法,3条鱼全给一个人，有&种选法，基本事件数为GC，于是 P3条

33、鱼由同一人钓到=吕0 =箱=。4.（3）简单随机抽样.设O=Gi，32， “，，3n含N个元素，称O为总体.如果各元素被抽到的可能性相同，自总体。的抽样称作简单随机抽样，突出一个“取”字.简单随机抽样分为先后有放回、先后无放回及任取这三种不同的方式在每种抽样方式下各种不同抽法（基本事件）的总数列表如下.自含N个元素的总体。中”次简单随机抽样抽样方式抽法总数先后有放回取次N（见注1）先后无放回取次n = N（N-l）.（N+1）（见注 2）任取n个C& （见注3）【【注注1】既考虑抽到何元素，又考虑各元素出现的顺序，每次从O中随意抽取一个元素，： |并在抽取下一元素前将其放回O于是每

34、次都有N个元素可被抽取，即有N种抽法，抽次，：；即 N.【【注注2】既考虑抽到何元素，又考虑各元素出现的顺序，凡是抽出的元素均不再放回。，于纟 :是每次抽取时都比上一次少了一个元素，抽n*N）次，即PL = N（N1）.（N-n+1）. 【【注注3】】任取n（nN）个是指一次性取个元素，相当于将个元素无序且无放回取走， |其抽法总数为C =影.例1.6从1,2,-,15这15个数中随机取岀3个，求下列事件的概率:人=3个数中最大的是10；企=3个数中大于、等于和小于7的各1个；4 = 3个数中2个大于7,1个小于7.解这是“无放回且无序”的问题从15个数中随机取出3个,总共有=4

35、55（种）不同取法，即总共有C个基本事件,其中满足事件A的取法有 = 36（种）（3个数中最大的是10,在小于10的9个数中随意取2个，有种不同取法）；满足事件A?的取法有6X8=48（种）（在小于7的6个数中随意取1个，在大于7的8个数中随意取1个，有6X8种不同取法）；满足事件A3的取法有6XC| = 168（种）（在小于7的6个数中随意取1个,在大于7的8个数中随意取2个）.于是皿）=嗇心）=鳥,P（A3）168455-12第7讲随机事件与概率2.几何概型几何概型的特点是总样本数和事件所含样本点数不能如古典概型那样可以数数,但具有几何特性，如长度、面积或体积等.解题时应将数量关

36、系用几何图形直观表现出来，其概率通常是事件所含样本点数和总样本数对应区域大小之比.例1.7在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于0. 5的概率为_.解应填0. 75.设两个数分别为 D，则依题意(工,丁)的取值范围为正方形区域D=(x,y)Qxl,Qyl.又|_r切0.5,则所在区域如图1-3中阴影部分所示，于是所求概率为图1-3例1.8随机地向半圆00)内投掷一点，点均匀落在半圆内任何一个区域，求该点和原点连线同工轴的夹角0W于的概率.解由题设，半圆与直线=工的交点坐标为(a,a),如图1-4所示，阴影区域D内任意点与原点连线同工轴的夹角拓芳，因此所求概率为y(J

37、 a la x图1-4三、概率的基本性质与公式1.加法公式、减法公式、逆事件概率公式首先，要记住概率性质和公式(等量关系:加法公式,减法公式与逆事件概率公式不等式关系:有界性，单调性，戸三卩才卩,P(B|A)=皆警器(AB)(卩0),等等).其次，要将题目中的已知条件，即所求事件的概率及其数量关系用数学符号明确表示岀来.最后，通过解方程或等量代换即可求得所要结果.例1.9设为两个随机事件，则(A)P(AB)+P(AB)1(D)P(AUB) + P(AUB)1解应选(A).本题涉及事件之间的关系，由于ABCAUB,即有P(AB)P(AUB),从而有P(AB)P(AUB) = 1-P(AUB)

38、= 1-P(AB),即 P(AB)+P(AB)O,即 P(AUB)+P(AUB)1,13丫勺(考研数学基础30讲概率论与数理统计分册知选项(B), (D)不正确.又ABCZB,有P(AB)*X* = (lW,jMW4,送;m ,于是【注】本题装信过程可看作无放回抽取信件,依次装入信封在计算第(2)问时，直接计算是较4.全概率公式全概型的特点是事件的发生是在多个因素或条件下发生的,且这多个因素或条件构成一个完备事件组，抓住并设定完备事件组是解决这类问题的切入点和关键.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取1件，如检验出是次品，则认为该箱产品不合格而拒收假设由于检验有

39、误，将1件正品误认为次品的概率为2%,1件次品被漏查而判为正品的概率为5%,求该箱产品通过验收的概率.解题中有两个完备事件组:一是箱中次品的件数为0,1,2；-是通过验收是在正确判断和错误判断的两种情况下发生.设A(=0,l,2)为“箱中有0个次品”,B为“通过验收”，b为“抽取正品”,于是有P(A; )=-y(z=0,1,2),15考研数学基础30讲概率论与数理统计分册P(B1|AI)=V，从而由全概率公式得2P(B1)=Sp(A,)P(B1|Ai)i=01 2 i=Q10 010因此由全概率公式得P(B；)=0. 1,=0. 9,=0. 9X0. 98+0.1X0. 05 = 0. 8

40、87.【注】本题中，通过验收是在完备事件组5,首背景下发生的，抽取正品则是在完备事件组 A，A，A2背景下实现的，因此，具备全概型的特征. I5.贝叶斯公式(又称逆概率公式)贝叶斯概型的特点是事件在多种因素或条件下发生,在事件已经发生后反过来讨论该事件是在哪个因素或条件下发生的概率.设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25%不合格.从两批产品中任取1只,经检验是正品，放回原处,并从原所在批次再取1只,求这只产品是次品的概率.分析两次抽取情况有不同处，第一次是在完全不知情的情况下等可能地从两批产品中抽取，第二次是在第一次抽取产品并检验合格后，这时对所抽取是第一批还是第

41、二批产品的概率已有计算，因此计算要分两步走第一步:在已知抽取产品合格的条件下，计算抽取的是第一批还是第二批产品的概率，属于贝叶斯概型;第二步:事件“从第一批产品中抽取”和“从第二批产品中抽取”构成一个完备事件组，计算第二次抽到次品的概率，属于全概型两个概型的复合,常常是该类题型的特点.解设H( = l,2)为“第一次从第i批产品中抽取”,A为“所取产品为正品”，则有1 QF(H1) = P(H2)=y, P(A|H1)= 1, P(A|H2) = y,即有7P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=y,从而有P(H2 |A) = 1-P(H1 |A)=y.又设GG=1,

42、2)为“第二次从第0批产品中抽取”，则有P(C1)=P(H1|A)=y, P(C2)=P(H2|A)=y,P(A) = P(C1)P(A|C1)+P(C2)P(A|C2)16第7讲随机事件与概率四、事件的独立性和n重伯努利试验1.事件的独立性例L 18三人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为+，+,+,求此密码被译出的概率.解记事件A为“第i个人译出密码”异=1,2,3,事件B为“密码被译出”.则P(B)=P(Ai UA2 UA3) = 1P(Ai A2 A3) = l【注】互不相容可简化并事件的概率计算，相互独立可简化交事件的概率计算这里为了利用i 5相互独立性，把事件的并在对偶

44、互独立.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:人=掷第一次出现正面,人2 = 掷第二次出现正面，4 = 正反面各出现一次,几=正面岀现两次，则事件( ).(A)Ai，A2，A3相互独立 (匕)人2,4，人4相互独立(C)Aj ,A2,A3两两独立 (。)人2,人3，人两两独立解应选(C).由题设，根据古典概型，有P(A1)=P(A2)=P(A3)=-|P(AlA2)=-, P(AiA3) -, P(A2A3) =-, 但PCA.A.As) = OP(A1 )P(A2 )P(A3),知A】,A2 ,A3两两独立，但A ,A2 ,A3不相互独立.又A3A4 = 0, P(A4)=y, P(A3)=y

45、, P(A3A4)=O#P(A3)P(A4),知a2,a3,a4不两两独立，也不相互独立,故选择(C).17考研数学基础30讲概率论与数理统计分册2,重伯努利试验(1) 独立试验称试验Ei，E2,E”为相互独立的，如果分别与各个试验相联系的任意个事件之间相互独立.(2) 独立重复试验“独立”表示“与各试验相联系的事件之间相互独立”，其中“重复”表示“每个事件在各次试验中出现的概率不变”.(3) 伯努利试验只计“成功”和“失败”两种对立结果的试验，称为伯努利试验.将伯努利试验独立地重复进行n次，称为“重伯努利试验，亦简称伯努利试验.于是,伯努利试验的特点：只有两种对立的结果；各次试验

46、相互独立；各次试验成功的概率相同.相应地，重伯努利概型是满足下述条件的随机试验：每次试验只有A与兀两个结果；每次试验A发生的概率p = P(A)不变；试验独立重复进行n次.如果用X表示次独立试验事件A发生的次数，则XB(n,p),即例 1.21对同一目标接连进行3次独立重复射击,假设至少命中目标一次的概率为壬,则每次射击命中目标的概率P=_解应填*.记事件A = 第。次命中目标(=1,2,3).由条件知，事件4，儿，4相互独立,且其概率均为p.已知进行3次独立重复射击，则至少命中目标一次的概率为PCA. UA2 UA3) = 1-P(A； A； A；)= 1-P(A；)P(A)P(A；

47、)7=1 (1盯=专，由此得e=寺.例 1.22某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为卫(0pl),则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率为( ).(A)3p(lpF (B)6p(l p)?解应选(C).(C)3，(1p)2(D)6p2(ip)2依题设,4次射击，最后一次命中，前3次有一次命中.若设前3次射击有次命中，则B(3,p), 且有P=l=Cp(l-py.于是第4次射击恰好第二次命中目标的概率为3/(1力)2,故选择(C).18第7讲随机事件与概率口基础习题精练 _ _1.1用事件A,B,C的运算关系表示事件:A,E,C都不发生;A,jB,C不都发生;A,B,C不多于一

48、个发生.1.2甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球.从两个口袋中各任取一个球，求取到的两个球颜色相同的概率.1 斤1.3从0,叮中随机地取两个数，求其积大于其和小于十的概率.1. 4两个人相约7点至8点到某地会面，先到者等另一人20分钟就可以离去，求两个人能会面的概率.1.5 已知事件满足P(AB) = P(AnB),记 P(A) = p,求 P(E).1.6 已知 P(A)=0. 7,P(AB)=0. 3,求 P(丽).1.7设A,B为两个随机事件，且P(A)=0. 4,P(AUB)=0. 7.若A,互不相容，则P(B)=_；若A,E相互独立，则P(B)=_;若人发生

49、B必发生，则P(B)=_.1. 8甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0. 6和0. 7.现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.1. 9已知装有同种零件的产品两箱，第一箱内装50件产品，其中一等品10件;第二箱内装30件产品，其中一等品18件，现从两箱中任意挑选一箱.求:从中先后取岀两件产品(取后不放回)，先取出的产品是一等品的概率已知先取出的产品是一等品,那么第二次取出的产品仍然是一等品的概率q.1. 10 口袋中有1个球，不知它的颜色是黑的还是白的，现再往口袋中放入1个白球，然后从口袋中任意取出1个，发现取出的是白球，求口袋中原来那个球是白球的概率.1. 11设A,B

50、,C为三个随机事件，且A与C相互独立,B与C相互独立，则AUB与C相互独立的充分必要条件是().(A)A与B相互独立 (B)A与3互不相容(C)AB与C相互独立 (D)AB与C互不相容1.12设事件A在每次试验中出现的概率为p,则在次独立重复试验中事件A最多出现一次的概率7=_.1.1解这是一道要求将概率论语言叙述的事件用事件关系来表示的题目，只要知道各种运算所描述的事件关系，此题是不难解答的. A,B,C都不发生 = A不发生，且B不发生,且C不发生 =ABC=AUbUC. A,B,C不都发 = A,B,C至少有一个不发 = A,B,C都发生的逆事件=AUBUC=ABC.19考研数学基

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