1、张宇数学教育系列丛书一上启航教育同烝的皿卧本书配套习题课 扫码听讲O主编张宇基砂和聽(【概率论与数理统计分册】张宇数学教育系列丛书 一-基型和O主编张宇【概率论与数理统计分册 D张宇数学教育系列丛书编委 (按姓氏拼音排序) 蔡燧林 陈静静 方春贤 高昆轮 胡金德 贾建厂李志龙刘硕 柳叶子吕倩 秦艳鱼 沈利英 史明洁 石臻东 王慧珍 王燕星 吴金金徐兵 严守权亦一畲色曾凡畲色 张乐 张青云 张婷婷 张宇 郑利娜朱杰习题演练第1讲 随机事件与概率 .3第2讲 一维随机变量及其分布 .4第3讲 多维随机变量及其分布 .6第4讲 随机变量的数字特征 .8第5讲 大数定律与中心极限定理 .10第6讲数理
2、统计.11参考答案第1讲 随机事件与概率 .17第2讲 一维随机变量及其分布 .19第3讲 多维随机变量及其分布 .22第4讲 随机变量的数字特征 .27第5讲 大数定律与中心极限定理 .31第6讲数理统计.33习题演练第7讲随机事件与概率1.1设A,B,C是三个事件，则A,B,C中恰好有一个发生的事件是( ).(A)AUBUC (B)ABUBCUCA(C)ABCUABCUABC (D)QABJBCJCA1.2在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于半”的概率为1.3袋中有3个新球，2个旧球，有放回抽取两次，每次抽取1个，则第二次抽取到新球的概率 为( ).2 3 2 3(a)4
3、 (b)4 (c)4 (D)圭4 5 5 101.4已知随机事件A的概率P(A) = 0. 5,随机事件B的概率P(B)=0. 6及条件概率P(B|A) = 0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=_.1.5设随机事件A,B及其和事件AUB的概率分别是0.4,0. 3和0. 6.若耳表示B的对立事件，那 么积事件屈的概率P(AB)=_.1.6 已知 P(A) = P(B) = P(C) = +，P(AB)=O,P(AC) = P(BC) = ，则事件 A,B,C 全不发生的4 16概率为_.1.7 已知两个事件满足条件P(AB) = P(AB),且P(A) = p,则P(B)=_.1.8设工
4、厂A和工厂B的产品次品率分别为1%和2%,现从由A厂和B厂的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是_.1.9对于任意两个事件A和B,下列说法正确的是( ).(A)若AB#0,则定独立 (B)若ABM0,则有可能独立(C)若AB=0,则定独立 (D)若AB = 0,则A,B 定不独立1. 10 设A,B,C为三个相互独立的事件，且OVP(C)V1,则在下列给定的4对随机事件中不相互独 立的是( ).(A)AUB与 C (B)AC与巴 (C)AUBC (D)AB-C1.11 随机事件A, B相互独立，已知只有A发生的概率为只有B发生的概率为则P(
5、A)考研数学基础30讲第2讲一维随机变量及其分布2.1设是连续型随机变量X的概率密度，FQ)为其分布函数，则( ).(A)O/()0,60)bf2 (j?) , z0为概率密度，则a,b应满足( ).(A)2a + 36=4 (B)3a + 26 = 4 (C)a + 6=1 (D)a + 6 = 2(Ax, 1zV2,2.7 设 X/()=Jb, 2WzV3,且 P1VXV2=P2XV3. o,其他，求：常数A,B；分布函数F(z)；P2XV4.2.8设随机变量X的概率密度为(2工，0工1,2=1。，其他习题演练以Y表示对X的三次独立重复观察中事件岀现的次数，则PY=2 =_.2.9假设测量
6、的随机误差XN（0,102）,求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对 值大于19. 6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.注：(1. 96) = 0. 975,另附表A1234567 eA0. 3680. 1350. 0500. 0180. 0070. 0020.001 210设随机变量X的概率密度为几则2X的概率密度为几 5) = ( )1 1 2(A)门二 2、 宀；、2 (C)7t(1 + 4j/2) 7t(4 + j/)2 7r(4 + j/2)2. 11设XE(*),令Y=minX,2,求Y的分布函数F(y).(D)27t(l+b)2.
7、 12设X是连续型随机变量，其概率密度为且丄T/（工）斗丄T、o.,0=工 3工5,其他，XVI, 1X0,Q0,0, 其他.求： ：( (l) )/x|Y( (ly) )，/Y|X( (jdx) )； ；(2)PX2|Y1.3. 7已知随机变量Xt与X2的概率分布分别为一10101X】111,X?11、TTT且 PX1X2 = O = 1.(1) 求X与X?的联合分布律；(2) 问X.与X2是否独立？为什么？3.8设(X,Y)在区域D=(z,y) | 工十1上服从均匀分布，求( (X,Y)的边缘概 率密度几(工)，/y( ()，并讨论X和Y的独立性.3.9设(X,Y)的分布律为则随机变量Z=
8、X+Y的分布律为_3. 10设二维连续型随机变量( (X,Y)的概率密度为(6工，OWzVlOWyVlI,/()=【0，其他.求随机变量Z=x+Y的概率密度.3.11设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(z,y)|lW_zW3,1=)=3上的均匀分布，求随 机变量u=丨xY I的概率密度p(u).3. 12设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布,V=minX,Y.求V的概率密度 fvM.3. 13已知随机变量X,Y相互独立，X服从标准正态分布,Y的概率分布为y-11p13T4求Z=XY的概率密度fM.考研数学基础30讲随机变量的数字特征4.1设连续型随机变量X的概率密度为9十云
9、)辽(_*，+=)，则 EX( ).(A)等于0 (B)等于1 (C)等于兀 (D)不存在4.2已知随机变量X,Y相互独立，且都服从泊松分布，又知EX=2,EY=3,则E(X + Y)2 =( ).(A)10 (B)25 ( 0 30 (D)514.3已知连续型随机变量X与Y有相同的概率密度，且(3工妙，0工,/(工)= 9 (00),0, 其他Ea(X+2Y) = 4，则 a=( ).u(A)y (B)y (C)y (D)y4.4设随机变量X的概率密度为/kjca, 00)-又知EX =牛，则Ha分别为4.5设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,rV 1,0. 2,1WzV2 ,0.
10、5,2乞5,19则EX=4.6设随机变量X的概率密度为/&)=$ *、0,0VzV2其他，则E伶)=4.7设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为X01P11T2公众号 陈叨叨杂货铺 免费分享习题演练则随机变量Z=maxX,Y的数学期望EZ=_(3 10 3 2二 / 1 4. 8 设(X,Y)f(x,y)=0,必有( ).(A)P |X-C|e = E(|XC|) (B)P|X-C|e(|XC|) e(C)P 1 xeggE(丨X二少 (D)P|Xeg冬彗e 4. 12设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为p(0p0,有旦 p|+$x+叫0)的简单随机样本,是未知参数，戈
11、是样本均 值，则下列各式是统计量的为( )(A)(B)工(X：“)2(C)X (D)(Xp)? +/6.2设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,3,而& ,Xg和匕，,丫9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=x+-+x9心+比服从_分布,参数为6.3设XNZ)，WX是来自总体X的样本，右3)服从S分布,则(c,)为( ).(A)(V3,3) (B) (,3) 俘,4) (D)(g)6.4设& ,Xz,-,X(/?2)为来自总体XN(O,1 )的简单随机样本，灭为样本均值，&为样本方 差，则( ).(A)n XN(O,1) (B)wS2 才()(0出3心1) (D)F(l,
12、”_)工X1 = 25 56. 5设心，夂2，広5为来自总体N(,/)(C7O)的样本观测值，若 另I = 5 ,工云=9 ,则样本方i= 1 i= 1差 =_.6.6设X,X2,X3，X4为来自总体N (p/)O0)的简单随机样本，则统计量丫= (X：盯 服1=1从_分布，其自由度为_6.7设X-X2,，X”是来自总体N(p,/)(“0)的简单随机样本，记统计量T =丄 X=则77 = 1ET=_.6.8从装有1个白球和2个黑球的罐子里有放回地取球，记10,取到白球,X(U,取到黑球，这样连续取5次得样本X,X2，X3，X4，X5.记Y=X|+X2 + “ + X5,求：(1)Y 的分布律,
13、EY,E(0)；考研数学基础30讲（2）EX,E（S2）（其中乂，&分别为样本X!，X2,-,X5的样本均值与样本方差）.6.9 口袋里有N个大小相同重量相等的球，每个球上写上号码 U2,，N,从中任取一个球， 设其号码为X,又X| X”（MN）为取自总体X的简单随机样本，来为样本X| X”的样本均值，将EX,DX表示为N的函数.6. 10设总体X服从参数为入的指数分布，X|,X2，“，X”是取自总体X的一个简单随机样本，则参）.数入的矩估计量为（A）A(B)T(OX(D)yX设玄=弘（X】，X2,，X”），N=N （X“X2,X”）是未知参数0的两个估计量，则）.（B）充分非必要条件（D）既
14、非充分也非必要条件).6. 11（仅数学一）D久CD/是从比弘更有效的（A）必要非充分条件（C）充分必要条件6. 12（仅数学一）设Xt,X2,X3取自存在有限数学期望和方差/的总体X,下列统计量中不为总 体X数学期望戶的无偏估计量的是（A）几=*X】 +X2 + yX33加2=寺&+存2+备X3(C)=yX1+yX2+yX31 9 1(D)知= *X】+扌X2誇&6. 13设X“X2,，X”是取自总体X的一个简单随机样本，X的概率密度为 /In 9,0,工$0,工0,0（91,求参数9的矩估计量.6. 14设总体X服从参数为p（0Vpl）的01分布，X】，X2“，X”是取自总体X的一个简单随
15、 机样本，求参数p的最大似然估计量.6.15设总体X的概率分布为X0123P621一3020230(1 0)其中0（OV0V*）为未知参数，给定总体X的样本值为3,1,3,0,3,1,2,3,求参数0的最大似然估计值.6. 16设某种元件的使用寿命X的概率密度为（2厂一，工$0,/（工;0）= |0, x140cm.由样本观察值计算得夂=170 cm,s = 16,a = 0. O5,to.o5（15） = 1. 75,则检验的结果为（ ）.（A） 接受H。，可能会犯第二类错误（B） 拒绝H。，可能会犯第二类错误（C） 接受H。，可能会犯第一类错误（D） 拒绝H。，可能会犯第一类错误13参考答
16、案随机事件与概率1.1 (C)解 事件A,B,C中恰好有一个发生，是指其中必有一个发生同时另外两个不发生，因此,所述事件应表示为ABCJAB CJABC.另夕F，A U B U C表示三个事件中至少有一个发生, ABUBCUC瓦表示三个事件中至少有两个同时不发生，又由0 ABUBCUCA = ABUBCUCA = ABUBCUCA,则表示三个事件中至少有两个同时发生，综上讨论，应选(C).1 71.2訂(或0.68)解 设这两个数为工和y,则(工)的取值范围为图中正方 形G,那么“两数之和小于号”即“工十”，此时(工,丁)的取值范围为图中阴影部 分D.本题为几何概型求概率题，所求概率为p =
17、篦蠶.而G的面积为1,D的面积为l-yX(y)=羡，故 P = |j(或 0.68).1.3 (B)解本题是古典概型中连续抽取问题的概率计算.连续抽取通常分有放回抽取和无放回抽取两种方式，其中，有放回抽取，每次抽取都是在袋中新、旧球的数量不变的情况下进行，每次抽取结果 相互独立，因此，第二次抽取到新球的概率为辛，故选(B).0【注】 若是无放回抽取，设A(=l,2,，5)表示第d次抽取到新球，则有A2=A1A2UA?A2,又j1 )=辛9卩(人1 )=彳9于是由全概率公式，得P(A2) = P(A1)P(A2|A1)+P(A；)P(A2|A7)-yX-|- + yXy = y,结果表明第二次抽
18、取到新球仍然与第一次是否抽取到新球无关，这就是所谓的“抽签原理”.p( A R)1.4 0. 7 解 由 0.8 = P(B|A) = ?y，得 P(AB)=0. 8P(A)=0. 8X0. 5 = 0. 4.故P(AUB)= P(A) + F(B)-P(AB)=0. 5 + 0. 6-0. 4 = 0. 7.1.5 0.3 解 由已知得 0. 6 = P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB)=0. 4 + 0. 3 P(AB),即 P(AB)=0. 1,故P(/W) = F(A-B) = P(A)-P(AB)=0. 4-0. 1 = 0. 3.31.6 y 解 因为 ABCG：A
19、B,所以 0P(ABC)O(d = 1,2,且 乂 P： = 1.i=l因此，有 PX = k=p + p2 = 1 且 p0,k = 0解得严,其中卫=1严0,不合题意，舍去，故p=i严.2.6 (A)解因为*+ fo f+oo 1 p T O1 = = afx (jf)cLr4- 6/2(j：)dz = a + 6 f2Cx)(Lr =a + b.J -oo J -oo J o Z Jo / 4所以2a + 36 = 4,即选项(A)是正确的.C4-oo f2 C3 o2.7 解 由于 1=J /(工血=j Ardz + J BcLr =+19公众号 陈叨叨杂货铺 免费分享考研数学基础30
20、讲又 P1XV2 = P2VXV3,即 f Azd_r = j或*3 Q IBdxA = B,解得 A = y,B=y,且2. 89642. 9FQ)=0,寺（1）,11,0,tdt,tdt +At,11,P2X4=F(4 0) F(2) = 1 -y=J fCx)dx =解由题意,YB(3,p),其中p = P(Xy= j2P2X4PY=2=C：每次测量误差的绝对值大于19. 6的概率为dz =1万.12zclr = T，故f(x)dx =3 2=2_64*1 M 工 2,= ye V 1 9解=2 W 工 V 3,工$ 31),01 W 攵 19. 6 = P|1. 96 =2口一(1.
21、96) = 0. 05.设Y为100次独立重复测量中事件| X| 19. 6出现的次数,Y服从参数为 = 100,p = 0. 05的二项分布，所求概率a =py3-i-py3=i-py=o-py=i-py=2= 1 0. 95 100X0. 05X0. 95-|X0. 052 X0. 9598.由泊松定理，丫近似服从参数为A=np=100X0. 05 = 5的泊松分布，从而a*l 入一号亍=1 亍（1+入 +与） = 1 0. 007X（1 + 5 + 12. 5K0. 87.2. 10 （C）解 因为 Fy（jO = PYm = P2XW；y = pxM子=心（专），所以A（）=yA（f
22、）=y djL， 兀（1 +忑丿故选（C）.2. 11解 当0WXV2时,Y=XV2；当X2时,Y=2.因此随机变量Y的取值一定不小于0且不大 于2,即POWY=2 = 1.由于X服从参数+的指数分布，因此当乂0时，PXWz =1 eY；当0冬 ）2 时，PYWy = PminX,2Wy = PXWy = l e20参考答案0, jyVO,于是,Y的分布函数为F（y）=i L子，0j/2,、1， y$2. 【注】 这里Y的分布函数F(y)有间断点(=2),且非阶梯形函数，则Y是混合型随机变量，自i然没有F(y)求导得概率密度*y)之说. 2. 12解 显然,Y的正概率点为0,1,2.于是PY=
23、O= PX 1= j1 /（工）归=f *d_z = *；PY= 1=P1X4=打（Qdf *山 + +牡= * + * = ；PY= 2 = PX$4= J于（工）dr = f yd = -,或 PY= 2= 1 PY = 0PY= 1= 1因此,Y的分布律为1 7 _T_ 12 _1Ty012171p6124对应分布函数是以0,1,2为分段点的阶梯形函数0,yVO,16OWyVl,F（y）=l = ，因此，概率值即为事件X1,Y1的覆盖区域与正概率密度定义区域的公共面积和 事件Y21的覆盖区域与正概率密度定义区域的公共面积之比，如图所示，它 们对应的区域均为同一区域，面积比为1,所以有PX
24、21|Y21 = 1.: 【注】本题在二维均匀分布下计算条件概率PX$1|Y$1,主要考查考生运用几何直观背$I景处理概率计算的能力一般地，若设二维随机变量（X,Y）服从均匀分布，则该分布的概率（包括条| |件概率）都应考虑用几何直观背景计算，实际表现为面积比. （3.6分析讨论二维连续型随机变量的条件概率分布，必须要牢记类似随机事件的条件概率公式的 关系式几以工）=保号，几X工）=黑拧, 可以看到若要计算/xiy（Ij-）必须同时有联合概率密度 2和相应的边缘概率密度几（丁），而且知道 其中任意两项就可推出另一项因此，计算其条件概率密度，首先要在已知联合概率密度的条件下计算出 各自的边缘概率
25、密度.解 （1）由f（x,y）dy = + 2e 0,心（工）=其他.0,同理，有ey,，yo,九(y)=Io,其他.因此，得条件概率密度川小）心(2e21,工 0,Io, 其他，川小）/心）|o,yo, 其他.(2e+”，工0,y0,命f考研数学基础30讲变量可分离，X,Y相互独立，必有fxiY（ly）=fx（）， /y|x（y|z）=/y（y）.(2)PX W 2 | Y= 1=PX2,Y 1PY 12 pdr 2e-(2y) dy0 Joi 【注】 由本题可看到，无论一维随机变量还是二维随机变量，它们的相互关系和概念，如独立iI性、条件概率等，以及概率的加法运算、乘法运算等与第1讲涉及的
26、内容是一脉相承的，学习时应该紧I j密联系起来，而不能相互隔离开来.另外，分段函数的乘除运算只在非零区域内的非零函数之间进行.I3.7解（1）方法一按照求离散型随机变量联合分布的一般步骤.由于 PXX2 = O = 1,因此 PX1 = 1,X2 = 1=PX1 = 1,X2 = 1 =0,从而有PX1 = -l,X2 = 0=PX1 = -l,X2-0+PX1 = -l,X2 = l=PX1 = -l=y,PX1=O,X2 = l=PX1 = -l,X2 = l + PX1=O,X2 = l+PX1 = l,X2 = l=PX2 = l=y,P X = 1, X? = 0 = P Xi =
27、l, X2 = 0 + P Xi = 1, X2 1 = P Xi = 1 = ,PX1=O,X2=O = 1- (* + * + *) =0，得X1和x2的联合分布律为容易得到Pll=+，P12=0，P13=+，p22=寺，即得X1和X2的联合分布律.-101Pi1110（）4421110022111p-iTTT1方法二利用联合分布律结构.由于 PX1X2=O = 1,因此 PX1 = -l,X2 = l=PX1 = l,X2 = l=0.从而联合分布律有如下结构-101p.0P11P2P131 T10P2201T111p-iTTT1（2）由Pm工為 1，知X1与X2不相互独立.参考答案Ii
28、 【注】 本题再次说明掌握联合分布律的结构的重要性在判断&与X?是否相互独立时，只要?I找到一对d，j的值，不满足p,=p、.p.,就可以判定X.与X2不相互独立.为此，常选择那些pt=Q | f的d,j,因为它们对应的p,. ,p.,是不会为零的. J3.8分析本题主要计算的是二维连续型随机变量的边缘概率密度，并在此 基础上讨论两个随机变量的独立性.为此，首先要由均匀分布的性质自行生成其联 合概率密度另外，题中的难点是正概率密度的定义区域较为复杂，计算边缘概率 密度时，需要借助区域图确定积分限.解如图所示，正概率密度的定义区域为三角形，面积为+，由二维均匀分布的定义，知（X,Y）的概率密度为
29、I(z,_y) G D,其他.因此，（X,Y）的边缘概率密度TxQ）,九（y）分别为fxS =r+oJ f(x,y)dy =1万 20,/ = Y10,其他/v（y）=*4-00f(j：,y)dj?=0口 4d_r,T0,其他03/ 1,4 + 8x 9-y 0,、0,其他，2 2y90yl,0,其他.由于f（,y）fx（x）fY（y），因此X和Y不相互独立.3.9 Z 解 依题设，随机变量Z=X+Y的正概率取值点为Z = 0,l,2,3.于105 10是，由联合分布律得PZ=0=PX=0,Y=0=吉,2PZ=1=PX = O,Y=1 +PX=l,Y=0=,59PZ=2=PX=0,Y=2+PX
30、=l,Y=l =学,oPZ=3=PX=1,Y=2=吉,从而得Z=X+Y的概率分布011Z y2 3 2 10123Z1102_1103.10解由区域图（见图），容易看到，正概率密度的定义区域与积分区间之间有三种组合形式，因 此，要分别在z0,0Zl,zl三种情况下计算二重积分，具体求解如下：依题设，当 zl 时，F（z） = PZ0=l；25考研数学基础30讲当 OWzVl 时，F(z) = PZz =f djcf Qxdy = z3.所以i 【注】离散型和连续型随机变量结合来考查，是近几年很热门的命题点在做这类习题的时j|候，往往需要将离散型随机变量的可能取值看作完备事件组，用全概率公式，将
31、离散型随机变量的|（取值代入，根据另一个连续型随机变量的分布函数的特征来求解随机变量z的分布函数. IJ 0 J 00,z0,1,从而求导得到z=x+y的概率密度为y（z）=0zl,0,其他.3.11解 由条件知X和Y的联合概率密度为/（工，）=10,其他.以Fu（“）= PU=“（ s“ + oo）表示随机变量U的分布函数（见图）显然，当 2 时,Fu（“）= l.设0u2,则Fu(”)=I f (x,y)dj：dy =I zyl于是，随机变量u的概率密度为p（“）= +4 (2 u|z y|lx3W(2u), 0uvl-ei 2 QO, =1 PXsYq = 1 1 F(q)F=0,0,其
32、他.0zl,3z2,3.13解 设Z= XY的分布函数为Fz（z）,则Fz(z) = PZWz = PXYMz = PXYz,Y= 1十PXYWz,Y=l1 3= P-Xz,y=-l+PXz,Y=l=y(z) + 亍(z)=(z),式中（z）为标准正态分布的分布函数.故Z=XY的概率密度为几（2）=丿乂一扣，zWR. V 2jt26公众号 陈叨叨杂货铺 免费分享参考答案随机变量的数字特征4.1 (D) 解由于EX =*+Oxf (j?)dx =*+ 9 T 1应吋山= /n(4+不存在，故选择(D).第4讲i 【注】一般情况下，连续型随机变量的数学期望是概率密度与积分变量乘积的无穷积分，必然i
33、 |会遇到收敛性问题就本题而言，被积函数为奇函数，积分区间关于原点对称，似乎积分为零，其实I 不然，对称性只适用于定积分及收敛条件下的广义积分，由于积分兀(4：工2)dz不收敛，因此结| I论不正确本题表明，掌握好高等数学的知识是正确求解概率论问题的基础. I4.2 (C) 解 由于 X,Y 相互独立，因此有 E(X+Y)=EX + EY=5,D(X + Y) = DX + DY=5,从 而得E(X+Y)2 = D(X+Y) + E(X+Y) 了 = 5 + 25 = 30.故选(C).4.3 (C)解 由于X与Y同分布，因此EX=EY,于是Ea(X + 2Y) = a(EX + 2EY)=3
34、aEXf+83a xf ( j: ) djr3j?303dj?=9 M|：9ax1解得a =寻,故选(C).4.4 3；2解由i1 1 /(j：)djr kradj： = k o a十10h;7 = I：即怡一a = 1 9 a r iEX = f xf (x)dj： = kxx Ax = k x2 I = 7-7； = ，即 4 3a = 6 ,J-8 J o a 十 Z | o a 十/ 4联立上式解得怡= 3,a = 24.5 2.9解 由题设，X的取值点，即FQ)的分段点为一1,2,5.由PX= l=F( l)F( l 0) = 02 0 = 02, PX=2=F(2)F(2 0) =
35、 0. 5-0. 2 = 0. 3, P X=5 =1 0. 2 0. 3 = 0. 5 ?/_1 2 5 有 X ，于是 EX=-1XO. 2 + 2X0. 3 + 5X0. 5 = 2. 9.0. 2 0. 3 0. 5 /4.6 f解E(君)=匚”刃吐=卡討吐=#.考研数学基础30讲2 I4.7解由题设，得PZ=0=PX = 0,Y=0=PX = 0PY=0=yXy = y, 3PZ=l = lPZ=0=.故Z的分布律为z01p13443故 EZ=.4.8y;y解由题设知EK =yf Cx,y)dxdy =In x_ 3 -(i*y /-4丄/ (, y ) drdy xy35 【注】
36、若是先求九（丿），再利用yfYCy）dy求EY也可以，但不如上述当作二维随机变量函|4.9 (C) 解 X,Y相互独立时，有D(XY)=DXDY +DX(EYy+DY(EX)2= 2X4 + 2X1I 2 + 4XP = 14,I z_C S(Qclr = E(| X-C I), e e故选（C）.4. 12解（1）X与Y相互独立且都服从参数为p（0p3一TfT参考答案第5讲大数定律与中心极限定理5.1 8解依题设，每次从该批产品中有放回地重复抽取，每批产品的正品率均与整批产品的正品率是相同的，每批抽取正品数X*住= 1,2,“）均独立且服从参数为10,0.8的二项分布，因此EX严10X0.
37、8 = 8,期望存在，满足辛钦大数定律.因此，根据辛钦大数定律，当ns时，丄依概率收敛于 兀厶=1EX严&5.2 （C）解满足切比雪夫大数定律要有3个条件： 要求构成随机变量序列的各随机变量相互独立，显然，各选项均能满足; 要求各随机变量的期望和方差都存在，由EX”f E(Xn-n)=A-n, E(”X”)f, E(X”)=+入,DXf D(X”-“)=入，D(”X”)F, D(X”)=挣,知各选项也都满足；要求方差有公共上界，即DX5 1OO=1-PSIOo5-1OO=1-P(S1oo-q 0()21-0(2)-0. 022 &(2)设每箱500袋螺丝钉中重量超过5. 1千克的袋数为Y,则Y
38、服从参数为 = 500,p = 0. 022 8的二项分布，且 EY=P = 11.4,DY=”p(l p) = ll. 14.于是由棣莫弗-拉普拉斯定理,Y近似服从正态分布N(11.4,11.14),从而有(y ) (Y11.42011.4珂拓3叫灯丫3咽苛芮豆卜叙2.58) = 0.995 1-5.7 16 641解 硬币投掷1次出现正面的概率为卫=*,记硬币投掷次出现正面的次数为X,则X EX=y, DX=”(1 p)普,又X出现正面的频率为务于是，由中心极限定理，则有y |O.O1J=P|X n/2n/299,解得”$1292 = 16 641,即至少要投掷16 641次才能满足题目要
39、求.32公众号 陈叨叨杂货铺 免费分享参考答案|6讲数理统计6.1 (A)解 不包含未知数的总体样本的函数以& ,X2,，X”)称为一个统计量，可见统计量与一 般的样本函数的区别关键是观察函数中是否含有未知参数.由题设可知，总体的参数未知，故选(A).X y6.2 t；9 解令 乂=才,丫【=寸& = 1,2,.,9),则 X：N(O,1),Y；N(0,l),d = l,2,“，9,X = X(X；N (0,32), Y=YY?才(9),因此TT Xi + + X9 X： + + X： X X/3ed 卑 丿丫半+丫孑 冋 7Y79 由于 X/3N(O,1),Y/(9),故 Ut(9).46.
40、3 (B)解 由于X,N(O,1)且相互独立，因此N(0,4),X+X： + X彳才(3)且相互i= 1独立，而4X,/2 N(O,1),1=11 4 4于是 , -=習一曰 上,/(X+ X：十 X/3 2 + X + X：所以c = y,n = 3.故选(B).6.4 (D)解方法一直选法.选项(D)为两个平方和之比，是服从F分布的典型模式.由于在XN(O,1)的条件下，才(”一1),疋才(1),且相互独立，因此，i = 2(1)X1 Xf/1 “- -=- - - ( | 77 -1=2 i=2故选择(D).方法二 排除法.在 XN(O,1)的条件下，由于 E(/?X) =O,D(/?X
41、)=n2DX = nl,XN(O,/?),知 选项(A)不正确.对于取自正态总体的样本方差S?,有(一DS?才(”一1)，知选项(B)不正确.又由t分布 的典型模式盘X = X I J”匚t(n 1),知选项(C)不正确.综上讨论，仅(D)结论正确，故 选之.6.5 1 解 利用 S2 = jS（X,-X）2 = ）计算.即有33考研数学基础30讲6.6 /；4解 依题设，题中统计量Y= 表现为平方和的形式，且写卫N(0,l),根据才分布的典型模式，可以确定(与卫)为%2分布，又因为和式中各项相互独立，所以分布自由度为4.6.7 /+# 解 依题设,X1,X2,.,X为来自总体NQz/)的简单
42、随机样本，因此相互独立且与 总体同分布，即有XN(,/)G=l,2,),于是E(X = DX, + (EX,)2 =/+/?, ET = +芈曲=+(/+”)=6.8解(1)记Y是连续5次取球中取得黑球的个数，则YB(5,y).从而Y的分布律为 PY=Ct(y) (y)5 二=0,1,2,3,4,5,9 IQ于是 EY=5Xf = 99 1 / 1 0 2 1 inE(Y2)=DY+(EY)2 = 5XyXy+(y)=爭.(2)由于X的分布律为X01P12T因此EX = EX=-|-,6.9解 依题设，口袋里有N个大小相同重量相等的球，从中任取一个，号码为怡的概率为寺，即总 体X的概率分布为P
43、X=) )H= +( (& = 1,2,“，N),又X|,X2， ，“，X”为取自总体X的简单随机样本，因 此,X,X2， ，“，X”相互独立，且与总体X同分布.根据样本均值数字特征的性质,从而有EX = EX=- = ,D乂 =匹=E(X2) - (EX)2 = (2N+1)(N+1)+(N + 1)2n n n _ 6 4 =4n+1)(N1).6. 10 (B)解本题是对指数分布的总体参数入的矩估计，基本的做法是总体的均值对应样本的一阶原点矩，即由EX=*,令EX = = X,1 _ 1得方程Y=x,解得入=专，故选(B).6.11 (A)解 本题主要考査统计量有效性的概念，要强调的是，
44、对于未知参数0的两个估计量, N=%(X1， ，X2， ， “,X”) ),2=2( (X1， ，X2， ， “,X”) ),当且仅当 E0i=0,E2=0，且 D久D2时，可以确定久比 62更有效，可知DdlD92是弘比玄更有效的必要非充分条件，故选( (A).参考答案6. 12 (C)解 无偏性是评价参数点估计的优良性的三个重要指标之一 本题考查的是总体期望的估计量的无偏性，实际上就是通过对估计量的期望运算验证是否等于冷依题设，X|,X2，X3取自总体X,且X存在有限数学期望和方差即有EX,=(d=l,2,3).所以由 E 卩 1 = *EX! + 希 EX? + yEX3 = +器+如=
45、Ep2=*EXi+*EX2+EX3=*|tz+=E3 = *EXi +eX2 + +eX3 = +*“=#H， e4=*eXi+孚 Ex?吉 EX3=*p苏=“知估计量“3不是P-的无偏估计量，故选(C).6.13解 本题是求连续型总体的概率密度中的参数e的矩估计，做法是将总体的均值对应样本的 一阶原点矩，即由f4-ooEX = xf = (一 xOTn 9)dxj -8 J 0p+oo I +00 C-f-oo=一 xAdx = xdx + 9TdxJ 0 10 J 0=11+ =_丄In(9 I o In O于是，令EX =十些X, = X,解得0的矩估计量3 =严.6. 14解 本题要计
46、算的是服从01分布的总体中参数p的最大似然估计.按照离散型总体的最大 似然估计法的步骤计算./ 0 1由X ,0解得P的最大似然估计量为p = X.6.15解按照离散型总体的最大似然估计的计算步骤进行，依题设，似然函数为8L(4，攵2 9 ，工8 ；0)= ITPX,= X,=护(1一3&)2(2 护)30(1 &) 丁1= 1=2 X 3护(1 30)2(1 0T,取对数 In L = In 162 + 81n 0+21n(l 30)+41n(l ff) 9令35考研数学基础30讲dlnL_ 8 6 4 _ 42护一420+8 _d0万_30 円0（1 30）（1 0）一 解得0的最大似然估
47、计值为 = 214丫0.256（21+4严舍去）.6. 16解似然函数为f 2exp 2 （1 0） $ 0（，= 1 皿），L（0） = LQi ,工2,工” ；&） = o,所以L（0）单调增加.de/由于0必须满足9Xi（.i=l ,2 9，并），因此当0取219化，九中的最小值时，L（0）取最大值所以9的最大似然估计值为B = minHi ,匚2，九6. 17 （D）解因/未知，置信区间为（X-4（t7-1）-|i,X+（h-1） ,则置信区间长度为s2（7?1） = 2,时，接受H6. 18 (D)解Ho:“Wp。，乩：。，检验统计量二罟心_），拒绝域为T S/vn由样本值得到丁=1
48、70芒。=30 ”（15） = 1.75,所以拒绝H。，可能会犯第一类错误. 4/16博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干 教师”，全国畅销书张宇考研数学基础30讲张宇高等数学18 讲.张宇线性代数9讲张宇概率论与数理统计9讲张宇考研 数学题源探析经典1000题张宇考研数学真题大全解考研数学 命题人终极预测8套卷张宇考研数学最后4套卷张宇经济类联 考综合能力数学通关优题库作者，高等教育出版社原全国硕士研 究生入学统一考试数学考试大纲解析及新编全国硕士研究生招生 考试经济类专业学位联考综合能力考试大纲解析编者之一，北京、 上海、广州、西安等全国著名考研数学辅导班首席主讲。
49、张宇数学教育系列丛书。教材类张宇考研数学基础30讲高等数学分册张宇考研数学基础30讲线性代数分册张宇考研数学基础张宇考研数学基础30讲讲 概率论与数理统计分册概率论与数理统计分册张宇高等数学18讲张宇线性代数9讲张宇概率论与数理统计9讲。题集类张宇考研数学题源探析经典1000题（分数学一、数学二、数学三）张宇考研数学真题大全解（上册）（分数学一、数学二、数学三）张宇考研数学真题大全解（下册）（分数学一、数学二、数学三）考硏数学命题人终极预测8套卷（分过关版、高分版）（分数学一、数学二、数学三）张宇考研数学最后4套卷（分过关版、高分版）（分数学一、数学二、数学三）宇哥考研新浪微博二维码张宇考研数学 微信公众号启航教育 微信公众号
