1、圆定理补充和四点同圆共圆定理同圆或等圆中的三角形面积比等于三边乘积之比。蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，而且当ABCD四点共圆时取等号。西姆松定理西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。证明四点共圆的基本方法方法1同弧同圆周
2、角把 被 证 共 圆 的 四 个 点 连 成 共 底 边 的 两 个 三角 形，且 两 三 角 形 都 在这 底 边 的 同 侧 ，若 能证明其顶角相等同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）示例：方法2：对角互补把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆示例：方法3：相交弦逆定理把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆（割线定理的逆定理）示例：方法4：找到半径证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆示例：
