1、 第1讲 绪论主要内容 微积分创立背景 几个微积分问题 如何学习微积分 第1讲 绪论微积分创立背景 光滑曲线的切线和法线 瞬时速度和加速度 炮弹的最大射程 第1讲 绪论微积分创立背景 曲线的长度 平面图形的面积 空间物体的体积 天体间的引力 第1讲 绪论微积分创立背景 十六、十七世纪面临两大类科学问题： 瞬时速度和加速度 光滑曲线的切线和法线 炮弹的最大射程 曲线的长度 平面图形的面积 空间物体的体积 天体间的引力 微分学 积分学 微积分 第1讲 绪论微积分创立背景 牛顿英 16421727 莱布尼兹德 16461716 “牛顿是经验的、具体的和谨慎的，而莱布尼兹则是 富于想象的、喜欢推广而且
2、是大胆的.” 第1讲 绪论微积分创立背景 高等数学的主要内容 一元函数微分学 一元函数积分学 矢量代数与空间解析几何 多元函数微分学 多元函数积分学 无穷级数 常微分方程 第1讲 绪论几个微积分问题 物体表面或者平面图形的大小称为面积 平面图形面积的大小是将该平面图形与单位长度的正方形 比较后的数量 如何求平面图形面积 第1讲 绪论几个微积分问题 求面积的问题可以追溯到2500前的古希腊时代 ? ? ? ? ? 如何求曲边图形的面积？ 如何求直边图形的面积？ 第1讲 绪论几个微积分问题 例1 计算半径为 的圆的面积. 圆内接正n边形的面积 ? ? ? ? ? ? ? ? 第1讲 绪论几个微积分
3、问题 例2 求由抛物线 ?、直线 及轴所围图形 的面积 . ? ? 将区间 等分： 第1讲 绪论几个微积分问题 ? ? 例2 求由抛物线 ?、直线 及轴所围图形 的面积 . 将区间 等分： 第1讲 绪论几个微积分问题 例3 求底半径为 、高为 正圆锥体的体积 . ? 第1讲 绪论几个微积分问题 （a）欧几里得：与圆相交且只相交一次的直线 . （b）如何定义一般曲线的切线？ 与曲线旁触的直线称为切线 如何求平面曲线切线？ 第1讲 绪论几个微积分问题 ? ? ? 第1讲 绪论几个微积分问题 例4 求抛物线 ?在点 处的切线方程. 0.51.01.52.0 0.5 1.0 1.5 2.0 O x y
4、 ? 第1讲 绪论几个微积分问题 例4 求抛物线 ?在点 处的切线方程. 0.6 0.81.01.21.40.6 0.8 1.0 1.2 1.4 4倍 第1讲 绪论几个微积分问题 例4 求抛物线 ?在点 处的切线方程. 0.951.001.051.10 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 10倍 第1讲 绪论几个微积分问题 在 ? ? 的平均速度： 在 ?时刻的瞬时速度为： ? ? ? ? ? ? 如何变速直线运动的瞬时速度？ 第1讲 绪论几个微积分问题 例5 已知作直线运动的质点在 时刻离开原点的距离为 ?， 求质点在 ? 时刻的速度. 【牛顿的求解】 在 ? ? 瞬间质点经过
5、的路程为 ? ? ? ? ? ? ? ? 在 ? ? 瞬间的速度为 ? ? ? ? ? ? ? 红衣大主教贝克莱批评道：“无穷小量是已死量的幽灵！” “无穷小量” 第1讲 绪论几个微积分问题 惠更斯指导莱布尼兹研究的问题 三角形数：1, 3, 6, 10， 如何求无穷多个数的和 第1讲 绪论几个微积分问题 雅各布 伯努利与约翰 伯努利兄弟研究的问题 ? ? ? ? ? ? ? 例如 （部分和） 第1讲 绪论几个微积分问题 计算 ?需要多长时间呢？ “天河二号”拥有每秒 33.86千万 亿次的浮点运算速度，假设每计算 一项需要一次运算，则需要 ?年！ 当今理论和观测认为宇宙年龄在 136亿年到1
6、38亿年之间. 伯努利兄弟的问题 ? 第1讲 绪论如何学习微积分 一、明确学习微积分的目的 数学素质 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力 数学的三大特点：研究对象的抽象性、论证方法的演绎性以及 应用的广泛性 第1讲 绪论如何学习微积分 二、处理好课程学习的每一个环节 预习 浏览每讲视频内容梗概，懂与不懂都要做到心中有数 听课 带着问题观看视频，看如何克服难点解决问题的 复习 阅读教材，回答为每讲准备的概念性问题，检验内容是否 基本掌握，尽量做到“四会” “定义会说、定理会证、公式会推、例题会做” 作业 独立完成每讲的课后习题 反思 思之不得则存疑，有疑就要问问自己、问同学、问 老师、“问”教材，学会提问题 第1讲 绪论如何学习微积分 三、怀着浓厚的兴趣学习 因为数学是美丽的，所以需要欣赏 因为数学是有趣的，故而数学可以欣赏 因为数学是有用的，因此数学值得欣赏 爱因斯坦“兴趣是最好的老师” 发现兴趣、培养兴趣、巩固兴趣 数学自身体现着美和神奇 和谐、简洁、对称 第1讲 绪论如何学习微积分 我们欣赏数学，我们需要数学。 陈省身
