1、1 第0章 基本知识 一、什么是高等数学 ? 初等数学 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了. 恩格斯 2 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册) (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程 二、主要内容 多元微积分 3 三、如何学习高等数学 ? 1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。 2. 学数学
2、最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 . 马克思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 . 华罗庚 4 3、极限的思维方法 1） 计算圆的周长 圆内接正n 边形 O r ) 5 6 a bx y o 3)计算曲边梯形面积 曲边梯形面积为 7 4)无穷级数 8 具备的数学素质： 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力 9 一、基本概念 1.集合:具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素. P（x
3、)表示元素具有性质 第0章 基本知识 10 2.邻域: 11 二、函数 12 函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数 基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和 反三角函数）. 13 (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o 14 (2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 15 有理数点无理数点 1 x y o (3) 狄利克雷函数 16 (4) 取最值
4、函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 17 复合函数 定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域 为(X)=uu= (x), xX U，则称函数y=f(x)为 x的复合函数。 代入法 18 复合函数 则 设有函数链 称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 函数 但函数链不能构成复合函数 . 可定义复合 19 注: 0复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成. 复合函数 代入法 20 初等函数 定义: 由基本初等函数
5、经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。 例： 不是初等函数 为初等函数 不是初等函数 为初等函数 可表为故为初等函数. 21 双曲函数与反双曲函数 奇函数. 偶函数. 双曲函数 22 奇函数,有界函数, 23 双曲函数常用公式 24 2.反双曲函数 奇函数, 25 26 奇函数, 27 三. 函数的几种特性 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 A为上界，B为下界。 (2) 单调性 为有界函数. 当 时, 称 为 I 上的 单调增函数 ; 称 为 I 上的 单调减函数 . 28 (3) 奇偶性 且有 若则称 f (x) 为偶函数; 若则称 f
6、(x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 29 例1 判断函数 的奇偶性. 解： f(x)是奇函数. 例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与 一个偶函数的和。 证明：设 显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而 故命题的证. 30 (4) 周期性 且 则称为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 狄里克雷函数 x 为有理数 x 为无理数 31 四. 反函数 若函数为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函
7、数记成 称此映射为 f 的反函数 . 其反函数(减) (减) . 1) yf (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 32 2) 函数与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线对称 . 指数函数 33 例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。 证明： 反函数是奇函数。 例2 解: 当x0时,y1, 当x N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 38 两边夹准则 证: 由条件 (2) , 当时, 当 时
8、, 令 则当时, 有 由条件 (1) 即故 39 两边夹法则.若 则： 40 例. 证明数列是发散的. 证: 用反证法. 假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取则存在 N , 但因交替取值 1 与1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 41 例(P10) 证明 若X2k-1a,X2ka(k), 则数列Xn收敛于a。 证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1) K2当kK2时X2k-1 落在a-,a+即满足|2k-1-a| (2) 取N=max2K1,2K2-1, 当nN,必有Xn 落在a-,a+即满足|n-a| 42 例 解 由夹逼定理得 43 例 讨论下列极限： （1） (3）设x1=1,xn+1=1+2xn(n=1,2)讨论 (5) 若等比级数 44 例题
