1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2008200820092009 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院数学科学学院 1（本题满分 48 分，每小题 8 分）计算下列各题： （1）设 xy yx z 1 arctan，求 x z ， yx z 2 。 （2）计算二重积分 D dxdyxy2，其中D是由半圆周4 22 yx（0x）与y轴所 围闭区域。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2 （3） 计算曲线积分dyyxdxyx L )()( ， 其中L是曲线 1 , 12 2 2 ty ttx 从点) 1, 1 (到 点)2, 4(的一段。 （
2、4）计算曲面积分 dSzxyzxy)(，其中为锥面 22 yxz被柱面 axyx2 22 （0a）所截的有界部分。 3 （5）求幂级数 n n n n x n 1 2 ) 1(的收敛域。 （6）解定解问题 6 ) 1 ( ,tan y x y x y dx dy 4 2 （本题满分 10 分）求曲面2132 222 zyx平行于平面064zyx的切平 面的方程。 3 （本题满分 8 分）已知抛物面 22 yxz与平面1zyx交成一个椭圆，求原 点到这个椭圆的最长距离和最短距离。 5 4 （本题满分 8 分）计算曲面积分 dxdyzyydzdxxxdydzz) 3( 222 ，其中为 半球面 2
3、2 4yxz的上侧。 5 （本题满分 8 分）已知函数)(xf在),(上具有二阶连续导数，1)0(f， 1 )2/1 ( ef。 试确定)(xf， 使得在全平面上曲线积分 L dyxfydxxfxf)()(6)( 与积分路径无关。 6 6 （本题满分 10 分） （1）将 2 )(xxf（x）展开为 Fourier 级数； （2）设g是以2为周期的连续函数，其 Fourier 级数为 1 2 sin 4 1 cos 2 ) 1( 2 3 )( n n nx n nx n xg 。 记 dttxgtxF)( 1 )( 2 ，求函数F的 Fourier 级数。 7 7 （本题满分 8 分）求幂级数 0 )!2( n n n x 的和函数，并求级数 0 )!2( 1 n n 的和。
