1、复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2009200920102010 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 高等数学高等数学 A （下）试题答案 （下）试题答案 1 （本题满分 48 分，每小题 8 分） （1） y z z e1 1 ， 3 2 )1 ( z z e e yx z ； （2）10)0, 0(f为极大值； （3） 2 64 3 ； （4） 2 5 16 a； （5） 15 1 ； （6）收敛半径： 16R，收敛域：)16,16(。 2 （本题满分 10 分）解 椭球面在第一卦限上的点),(zyxP（0,zyx）处的 切平面的方程为 0)()()( 222 zZ
2、 c z yY b y xX a x ， 即 1 222 c zZ b yY a xX ， 此平面在三个坐标轴的截距分别为 x a2 ， y b2 ， z c 2 ，因此它与三个坐标平面所围 四面体的体积为 xyz cba V 6 222 。 显然只要求出V/1的最大值，便能求出V的最小值。因此问题可以转化为求 目标函数),(zyxfxyz在约束条件1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的最大值问题。 为此，作 Lagrange 函数 2 2 2 2 2 2 1),( c z b y a x xyzzyxL， 并令 . 01 , 0 2 , 0 2 , 0 2 2 2 2 2 2
3、 2 2 2 2 c z b y a x L c z xyL b y xzL a x yzL z y x 注意0,zyx（此时0） ，由方程组的第一、第二和第三式得 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ， （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 代入第四式得 ax 3 3 ，by 3 3 ，cz 3 3 。 显然，这个驻点必是f在约束条件下的最大值点，其最大值为 abccbaf 9 3 3 3 , 3 3 , 3 3 。 于是便得到V的最小值为 2 3 6 222 min abc xyz cba V。 3 （本题满分 8 分）解 添加线段BA：0y，0:x。设曲线L与BA所围区 域
4、为D，则由 Green 公式得 . 6 1 )( cos)(sin 3 0 )( 00 dxxxyddx dxdyydyxdxyy xx D BA L 且 . 00cos)(sin 0 dxydyxdxyy BA 于是 . 6 1 cos)(sin cos)(sin 3 BA D L ydyxdxyydxdy ydyxdxyy 4 （本题满分 8 分）解 直接计算得 r rD yxD ),( ),( ， sin ),( ),( rD zyD ， cos ),( ),( rD xzD ， 所以 2 222 2 1 ),( ),( ),( ),( ),( ),( r rD xzD rD zyD r
5、D yxD FEG 。 于是 .122 3 2 12 11 1 0 2 1 0 2 2 0 10 ,20 222 drrr drrrddrdrrdSyx r 5 （本题满分 10 分）解（1） 22 )( 2 00 0 dx ee ee dxxfa xx ， 且对, 2 , 1n，有 00 cos 2 cos)( 2 nxdx ee ee nxdxxfa xx n 00 coscos )( 2 nxdxenxdxe ee xx . ) 1( ) 1(2 )cossin( 1 )cossin( 1)( 2 2 0 2 0 2 n nxnxn n e nxnxn n e ee n xx 因此由收敛
6、定理 )(xfnx n n n cos 1 ) 1(21 1 2 ，, 0x。 （2） 在（1）的结果中令 2 x得 ee ee n n n n 22 1 2 2 cos 1 ) 1(21 ， 于是 2 1 241 ) 1( 22 1 2 ee ee n n n 。 6 （本题满分 8 分）解 由 Gauss 公式得 1 222222 2 2 2 2 2 2 )( c z b y a x dxdydzzyxdxdyzxdzdxyzdydzxy。 作变换aux ，bvy ，cwz 得 1 222222 1 222 222 2 2 2 2 2 2 )()( wvu c z b y a x dudv
7、dwwcvbuaabcdxdydzzyx。 由对称性知 1 2 1 2 1 2 222222222 wvuwvuwvu dudvdwwdudvdwvdudvdwu， 因此 .)( 15 4 sin 3 )( 3 )( 222 1 0 4 0 2 0 222 1 222 222 1 222222 222 222 cbadrrdd cba dudvdwwvu cba dudvdwwcvbua wvu wvu 于是 dxdyzxdzdxyzdydzxy 222 )( 15 4 222 cbaabc。 7 （本题满分 10 分） （1）解 记 !)!12( 12 n x u n n 。对于每个0x，由
8、于 0 32 | lim | | lim 2 1 n x u u n n n n ， 所以 0 12 !)!12( n n n x 收敛。因此幂级数 0 12 !)!12( n n n x 的收敛域为),(。 （2）证 对 0 12 !)!12( )( n n n x xS逐项求导得 )(1 !)!12( 1 !)!12( 1 !)!12( )( 0 12 1 2 0 12 xxS n x x n x n x xS n n n n n n 。 注意到0)0(S，所以)(xS是一阶线性方程 1xSS 满足0)0(S的特解，因此 x tx x sdstdt dteedteexS tx 0 22 0 22 00 )(，),(x。 于是 x x x xSelim)(lim 2 2 2 2 2 00 2 0 2 2 22 dxedtedte x t x t 。
