1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2010201020112011 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院数学科学学院 1（本题满分 42 分，每小题 7 分）计算下列各题： （1）设方程 xz y xz arctan确定隐函数),(yxzz ，求 x z 。 （2）计算二重积分dxdyyx D 22 ，其中D是圆yyx2 22 所围的有界闭区域。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2 （3）求椭圆抛物面 2 2 2 2 1 b y a x z（a，0b）与平面0z所围立体的体积。 （4）计算曲线积分 L dsyx)( 22 ，其中L是曲线
2、ttty tttx cossin ,sincos （20 t） 。 3 （5）将 2 )(xxf（20 x）展开为周期 4 的余弦级数。 （6）解定解问题 . 1, 1 ,84 00 2 xx x yy eyy 4 2（本题满分 8 分） 已知函数),(yxfz 的全微分为ydyxdxdz22， 且2) 1, 1 (f。 求f在椭圆域 1 4 | ),( 2 2 y xyxD上的最大值和最小值。 3 （本题满分 8 分）求过直线L： 032 , 012 zyx zyx 且与曲线C： 42 , 2 1 222 zyx zyx 在点)2, 1, 1 ( 0 P处的切线平行的平面方程。 5 4 （本
3、题满分 8 分）求曲面积分 dSzyx)(，其中为球面 2222 azyx上 hz （ah 0）的部分。 5 （本题满分 8 分）计算曲线积分 L yx ydxxdy 22 4 ，其中L为圆周4) 1( 22 yx，定 向为逆时针方向。 6 6 （本题满分 8 分）计算曲面积分 zdxdyydzdxzyxdydzyxz 222 )()sin(，其 中为上半球面4 222 zyx（0z）的上侧。 7 （本题满分 8 分）求级数 0 2 2 ) 1() 1( n n n nn 的和。 7 8 （本题满分 10 分）设)(xyn是定解问题 0)0( , 2 2 y n x y dx dy 的解（, 2, 1n） 。 （1）求)(xyn（, 2, 1n） ； （2）证明：对于每个 2 , 0 x，级数 1 2 )( n n xyn收敛。
