1、复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2012011 12012012 2 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 高等数学高等数学 A （下）试题（答案） （下）试题（答案） 1 （本题满分 42 分，每小题 7 分） （1） 22 4 2 1 yx ydxxdy yx yx ； （2） 3 ； （3） 6 3 h ； （4） 4 3 4 a ； （5）1)1 ( x ex，),(x； （6） 2 4 ln 2 1 xCxy。 2 （本题满分 8 分）在点 222222222 , cba c cba b cba a 取最小值 222 1 cba 。 3 （本题满分 10 分）1
2、，C x y yxu 2 arctan),(。 4 （本题满分 10 分）) 1(2 2 e。 5 （本题满分 10 分） （1） ) 1( 11 1 1 )( 1 nn x n x n xy nn n （, 3, 2n） 。 （2）级数 2 ln)0( n n ny收敛。 6 （本题满分 12 分） （1） 1 cos sin2 )( n nx n n xf ； （2） 2 2sin 1n n n ， )( 2 1s i n 1 2 2 n n n 。 7（本题满分 8 分） 证 对于 1 上任一点),( 0000 zyxP， 1 在 0 P点处的切平面 0 的方程为 0)(22 2 0 2
3、 0 2 00 yxRRzyyxx。 0 与 2 的交线为 , , 0)(22 22 2 0 2 0 2 00 yxRz yxRRzyyxx 它在Oxy平面的投影曲线为 . 0 ,)()( 22 0 2 0 z Ryyxx （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 记这个投影曲线所围区域为D，则平面 0 与曲面 2 所围立体的体积为 .)()( 1 )( 1 )22( 1 2 0 2 0 2 2222 0 2 000 D D dxdyyyxxR R dxdyyx R Ryxyyxx R V 作变量代换 cos 0 rxx，sin 0 ryy， 则D对应于RrrD0,20),( 1 ，于是 3 0 22 2 0 22 2 1 )( 1 )( 1 1 RrdrrRd R rdrdrR R V R D 。 这说明平面 0 与曲面 2 所围立体的体积与点),( 0000 zyxP的位置无关。
