1、3.2 数值求积的 Newton-Cotes 方法 (2) n 中步长 h b a，然后在每个小区间 x , x 上应用梯形 公式，即： i1i x k k h 2 xk 1 1 f (x)dx f (x f xk (k 1, 2, n) 可导出复合梯形公式： k n bx a xk 1k 1 f (x)dx k h 2 f (x k 1 f (x)dx n k 1 2 k h ) f (x )f (a) 2f (x ) f (b) n1 k 1 3.2.3 复合 Newton-Cotes 公式 复合求积就是先将积分区间分成 n 个小区间，并在每个小区 间上用低阶 Newton-Cotes 公
2、式计算积分的近似值，然后对这些近 似 值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更 大实 用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。 先将区间 a,b 进行 n 等分，记分点为 xk a kh, (k 0,1, , n) ，其 b a n1 k 1 h f (x)dx Tn 2 f (a) 2f (xk ) f (b) 于是，复合梯形公式为： b a h 6 k 2 k 0 k 1 f (x)dx Sn n1 f a4 f (x n1 1 ) 2 f (xk ) f (b) 9 0 b a h k 4 k 2 k 4 k 0 k 0 k 0 k 0 f (x)dx Cn n1 7 f
3、 a32 f (x n1 1 ) 12f (x n1 1 ) 32f (x n1 3 ) 14f (xk ) 7 f (b) 复合 Cotes 公 式： 同理，复合 Simpson 公 式： 定理 3.2.2 若 f(x) 在积分区间 a,b 上分别具有二阶、四 阶 和六阶连续导数 , 则复合求积公式的余项分别为： 12 b n a b a f (x)dx T ( b n a b a h f (x)dx S 6 6 b n a ( ) f () 1802 2(b a) h 945 2 f (x)dx C 其中， a, b 1 12 h2 f () h2 f (b) f (a) 180 2 1h
4、 )4 f (4) () ( )4 f (b) f (a) 6(5)(5) 945 4 2 h (a) ( ) f (b) f b a 定义 3.2.1对于复合求积公式 f (x) In，若当 h0 时有 b hp f (x)dx In c(c 0) a 是 p 阶收敛 的。 n 则该复合求积公式 I 由此可得出复合求积公式 Tn , Sn , Cn 是的收敛 阶。 定理 3.2.3 梯形复合求积公式Tn、复合 Simpson 公式 Sn 和 复合复合 Cotes 公式 Cn 分别具有二阶、四阶和六阶收敛 性。 2 nn 则新近似值 T的余项约为原近似值 T余项的 1/4 ， 即： I T2n
5、 1 I Tn 4 b a 其中 I表示积分 f (x)dx 的真 值 。 将积分区间逐次分半，每分一次就用同一复合求积公式算出 相应的积分近似值，并用前后两次计算结果来判断误差的大 小。 其原理和具体做法是： 对于复合梯形公式，由余项公式可以看出，当 f (x) 在积分 区 间上变化不大或积分区间 a,b 的等分数 n 较大（步长 h 较 小）时， 若将 a,b 的等分数改为 2n （即将步长缩小到原步长 h 的一半）， 3.2.4 复误差的事后估计与步长的自动选 择 3 2nn 1 (T T ) 作为积分真值 I的近似 值，则其误差约为 : 若用 T 2 n 作为积分的近似值；否则，将区间
6、再次分 半后算出新近似值 2n n 先算出和，若 T T 3（为计算结果的允许误 差）， 2 n 则停止计算，并取 T 2 n ，并检查不等式 4n T TnT 2n 1 (T T )对求解得： I T I T4n T2n 是否成立，直到得到满足精度要求的结果为止。 3 3 2nn 2n 2nn I T 1 (T T ) 对于复合辛普生公式和复合柯特斯公式，当所涉及的高 阶导数在积分区间上变化不大或积分区间的等分数较大 时， I S2n 1 I C2n 1 I Cn 64 15 2n2nn I S1(S S )6 3 2n2nn I C 1(C C ) I Sn 16 分别对 I 求解得 因此
7、，也可以像使用复合梯形法求积分近似值那样，在将积分 区间逐次分半进行计算的过程中，估计 新的近似值 S2n 和 C2n 的 误差，并判断计算过程 是否需要继续进行下去 3.2.5 复合梯形法的递推算 式 T2 n 4n2n k 1 b ab a ) f (b) 2n1 f (a) 2f (a k n 分点，当 k 取奇数时，才是新增加的分点。将新增加的分点 处 的函数值从求和记号中分离出来，就有： k 若注意到在 2n 分点 x 2n a k b a (k 1, 2, , 2n 1) 中，当 k 取 偶数时是 n T2 n n1 k 1 b a b a b a f (a) 2f (a 2k )
8、 2f a (2k 1) f (b) 2n2n k 1 n 4 n n2 n 2 n 4n b a b a b a b a ) f (b) n1 f (a) 2f (a k 1 f a (2k 1) k 1 b a 2n b a 2n 即 T 1 T 2n 2 n n f a (2 k 1 ) k 1 ？ 基于已有的等分求积节点如何简便地计算最好的结果？ 3.2 数值求积的 Newton-Cotes 方法 (2) 弹幕问题： a. 1/2 ； b. 1/3 ； c. 1/4 ； d. 1/15. 的多少倍？ （ c ） 1. 复合 Simpson 公式 Sn 是 阶收敛。 （ c ） a. 2 ； b. 3 ；c. 4 ； d. 5. 2. 复合梯形公式的误差 I T2n 约为 T Tn
