1、第 3 章 湘江流量估计模型 数值积分 法 3.1 数值积分公式的构造及代数精 度 3.1.1 湘江水流量估计的实际意 义 表 3.1.1 湘江某处横截面不同位置的水深数 据 单位： m 若此刻湘江的流速为 0.5m/s ，试估计湘江此刻的流 量。 x050100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 h(x) 4.25.95.85.24.55.755.54.85.94.15.14.6 5.7, 4.7 牛顿 - 莱布尼兹（ Newton-Leibniz ）公 式： （其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函 数） b b a a f
2、(x)dx F (x)F (b) F (a) (3) f(x) 的精确表达式不知道，只给出一张由实验提供的函数 表。 (1) f(x) 的结构复杂，求原函数困难； (2) f(x) 的原函数不能用初等函数表 示； a x0 x1 xn b b a f (x)dx ? 这就是数值积分问题 3.1.2 数值求积的必要 性 在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况： b b n aa f (x)dx （ 3.1.1 ） a x0 x1 xn b b a f (x)dx f (x) (x) bb aa (x)dxf (x)dx ？ b k a b a k0 k k n 0k 1 k 1 n k 1 k
3、 k 1 )(x x l (x)dx (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x )(x x ) (x x ) 其中 lk (x)(k 0,1, , n) 为 n 次插值基 函数。 用Ln (x) 近似代替被积函数 f(x) ， 则得： n b k f (x )lk (x)dx k 0 L (x)dx a A k 记dx （ 3.1.2 ） 3.1.3 构造数值求积公式的基本方 法 利用插值多项式来构造数值求积公式。 n (x) Ln (x) f (xk )lk (x) k 0 b a k 0 n f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 ) An f (x
4、n ) Ak f (xk ) 于是得到数值求积公式 （ 3.1.3 ） b a 该公式的几何意义是把定积分f (x)dx，即曲边梯形面积用 n+1 个 已知 高为 f (xk ) 、选取适当宽 Ak 的矩形面积之和来近似计算，这样的 求积公 式称为机械求积公式。将 xk 称为求积节点，Ak 称为求积 系数。 可见任意给定一组求积系数 Ak 就得出一个相应机械求积公式。 若机械求积公式 (3.1.3) 中的求积系数 Ak 是由 (3.1.2) 确定 的，则 称该求积公式为插值型求积公式；几何意义是用插值多项式 Ln (x) 围成 的曲边梯形面积近似 ( ) 围成的曲边梯形面积。 a 积分f (x
5、)dx 的真值与由某求积公式给出的近似值之 差，称 为该求积公式的余项，记作 R f 。 b a R f n f (x)dx Ak f (xk ) k 0 的余项 为： b a Ak f (xk ) k 0 f (x)dx n 求积公式 b a (x)dx f (n1) () n1 R f (n 1)! n1 (x) (x x0 )(x x1 )(x xn ),(a, b) b n a f (x) L (x)dx b n a L (x)dx f (x)dx b k a b l (x)dx 例 3.1.1 插值型求积公式的余项 如果 该求积公式是插值型的，则 Ak n b f (x)dx Ak
6、f (xk ) a k 0 从而有 R f a 3.1.3 求积公式的余 项 b (1 ) 22 b a b ab a f (x)dx f (a) f (b) (2) 33 b a f (b) b a 2(b a) f (x)dx f (a) (3 ) b a f ( f (b) 4(b a)a bb a 62 6 f (x)dx f (a) ) (4) 3 3 23 b a f ( f (b) b a 6 b a b aa bb a f (x)dx f (a) ) 定义 3.1.1 对 n b kk a A f (x ) k 0 f (x)dx 若求积公式 都准确成立，而对于 f (x) x
7、m1 不准确成立，则称 m 为该 求积公式 的代数精度。 2m f (x) 1, x, x , , x 3.1.5 求积公式的代数精 度 分析下列数值求积公式的精度 例 3.1.2 容易验证下面结论 2 b a f (x)dx b a f (a) f (b)的代数 精度 m=1 。 梯形公式 的代数精度 m 至少为 n 。 定理 3.1.1 含有 n+1 个节点 xk (k 0,1, , n) 的插值型求 积公式 b a k 0 n f (x)dx Ak f (xk ) 抛物形公式 6 b a (b a) a b 2 f (x)dx f (a) 4 f ( ) f (b)的 代数精度 m。 2 bf (n1) () n1 (x)dx，容 易证明 由插值型求积公式的余项 R f 下面更一般的结论。 (n 1)! a ？ 对于给定的 n+1 个求积节点，是否存在最好的机械积分公式？ 3.1 数值积分公式的构造及代数精 度 弹幕问题： a. 1 ； b. 2 ；c. 3 ； d. 4. 1. 插值型求积公式是机械积分公式吗？ （是） 2. 数值求积公 式 的代数精度是。 （ c ） 1 0 11 62 f (x)dx f (0) 4 f () f (1)
