1、5.6 平方根法 利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称 正定方程组的一种有效方法平方根法 (Cholesky) 。 设A 为对称阵，即 ATA，且 A 的所有顺序主子式 均非零， 则 A 可以唯一分解为： A LU 。 u 22 u1 1 U 1111 1 u12 u1n uu un1 ,nun1,n 1 1 unn 1 0 D U 由于 A 非奇异，故 U 非奇异性，将 U 再分解为 0 从而有 A LU LDU TT T 0 ， 又 A A U （ DL ） 定理 5.6.1 （对称阵的三角分解） 设 A 为 n 阶对称阵，且 A 的所有顺序主子式均非零。则 A 可唯一 分解为：A
2、LDLT 。其中 L 为单位下三角阵， D 为对角阵。 由矩阵三角分解的唯一性可得，于是。 0 UT L A LDLT 当 A 为对称正定矩阵时，则 A 的所有顺序主子 式 ，而。 i D 0 T A LDL D i i1 设 D diag(d1 , d2 , , dn ) ，则 d1 D1 0, di 0 (i 2,3, ,n)。于 是： D d 2 d 1 D nn dd d1 d1 d2 d2 d n 1/21/2 D D 1/ 211 T1/ 21/ 2 T1/ 2 TT A LDL LDDL （ LD )( LD ） L L1/ 2 这里 L1 LD 为下三角阵。 定理 5.6.2
3、（对称正定矩阵的 Cholesky 分解） 若A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩 阵 L ， 使 A LLT 。当限定 L 的对角元素为正时，这种分 解是唯一的。 ii l 11 ,l 0 i 1, 2, , n ln1 ln2 lnn l11l21 A l21l22 l22 ln1ln2nn 由矩阵乘法及 ljk 0( j k ) ，则有 n aijlik l jk j 1 lik l jkl jj lij 21/2 j k a11 , l jj l ) l11 (ajj j1 k 1 0, ( j 1, 2, , n) 2 1 i j ik jk i j l l a l l
4、j j j 1 a 21 , a11 l k1,(j 1,2, ,n;i j 1, ,n) k 1k 1 于是得解对称正定方程组 AX b 的平方根法计算 公式： i ii b i l i 1 lik yk y k 1, (i 1, 2, , n) 求解 AX b，即可由下面两个三角形方程组求 出 由 Ly b 求 y ： 由 LT x y 求 x： n i ii y i l lki xk x k i 1, (i n, n 1, ,1) jjjk l 2k 1 a 2 jkjj maxl j .k1j n maxa M jjjjjk l2 ) 1/2k1 ( j 1, 2, , n) (a j
5、 j1 由 l 0 ， ( j 1, 2, , n) 知 2 jkjjjj 1jn la max a则，从而 这表明分解过程中元素 ljk 的数量级不会增长太快且对角元素 l jj 恒为整数。于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法。 当求出 L的第 j 列元素时， LT 的第j 行亦得出，所以平 方根法 大约需要 n36 次乘除法，约为一般直接 LU 分解法 计算量的一 半。由于 A为对称阵，因此在计算机中只需存 储 A 的下三角部 分元素，共需 n(n 1) 2个元素。 。 7 6 5x1 9 例 用平方根法求解 7 13 58 8x2 10, 其精 确解为 6x3 9 x* (1,1
6、,2) T 解 (1) 分解计算（由公式容易算 出）： 0 0 0 2.1985 0.9856ll 00 2.4495 l22 31l32 33 l 11 L l21 0 2.8577 2.04120.9285 。 (2) 求解两个三角方程：解 Lyb 得 y (3.6741,0.2273,1.8570)T， 代入 LT x y 解得： x （ 1.0, 1.0, 2.0)T 可见，用平方根法解对称正定方程组时，计算 L 的元素 lii 需要 进行开方计算，为避免开方计算，可对平方根法进行改 进。 ？ 对称矩阵三角分解中的 L 和 D 如何计 算？ 5.6 平方根 法 弹幕问题： 1. 对称正定方程组的平方根法是一个数值稳定的方法吗？ ( 是 ) 2. 平方根法大约需要 次乘除法运算。 (d) a.n3/3;b. n3/4 ； c. n3/5 ；d. n3/6 。
