1、4.4 弦截法与抛物 法 4.4.1 弦截法与抛物法的基本思想 Newton 法 每迭代一次需计算函数值，导数值 k f (x ) k f (x ) k k 本身比较复杂时，求导数值更加困难。 x f (x ) k 1 x f (xk ) 各一次，f当 函数如何利用已计算的函数值 避免导数值的计算， 导出这种求根方法的基本原理是插值法。 f (xk ), f (xk 1 ), k f (x ) 设 xk , xk 1 , , xk r 是 f (x) 0 根的一组近似值， 用对应的函值 f (xk ), f (xk 1 ), , f (xk r )，构造插值多项式pr (x)，适当选 取 pr
2、 (x) 0 的一个根作 为 f (x) 0 的新的近似根 xk 1 。这样就确定了一个迭代过程，记 迭代函 数为 g，则 xk 1 g(xk , xk 1 , , xk r )，下 面具体考察 r 1（弦截法）， r 2（抛物法）两种情形。 4.4.2 弦截法 设 xk , xk 1 为 f (x) 0 的近似根，过点 (xk , f (xk )，(xk 1, f (xk 1 ) 构 造一次插值多式 p1 (x)，并用 p1 (x) 0 的根作为 f (x) 0 的新的 近 似根 xk 1 。 kk k k 1 k 1 ) k 1 x x (x x f (x ) f (x) 1kk x k
3、p (x) f (x ) f (xk ) f (xk 1 ) (x x ) xk 1 f (xk ) 由 则由 p1 (x) 0 可得： 另外，上式也可以用函数近似取 f (x ) f (x ) kk 1 xk xk 1 Newton 公式中的 f (x) 推导得 到。 f (x) 的差 商 xk xk 1 k f (x ) f (x ) f (x) kk 1 (x x ) 0 xk xk 1 弦截法的几何意义 曲线 y f (x) 上横坐标为 xk , xk 1 的点分别 记为 pk , pk 1，则弦线 pk pk 1 的斜率 等于差 商 f (xk ) f (xk 1 ) ，其方程 为：
4、 实际上是弦线 pk pk 1 与 x轴交的横坐标。因此这种算法称 为 弦截法，又称割线法。 则求得的近似根 xk 1 弦截法与 Newton 切线法都是线性化方法，但两者有本质区 别。 及，而弦 Newton 切线法在计算 xk 1 时用到前一步的 xk、 k f (x ) k f (x ) 截法在计算 xk 1 时要用前面两步的结果 xk , xk 1 , f (xk ), f (xk 1 ) ，不须 计算导数。这种方法必须有两个启动值 x0 , x1 。 且对有。又初值，那么当邻域充 分小时， 内具有二阶连续导 数， x f (x) 0 0 1 x , x 2 定理 4.4.1 假设 f
5、 (x) 在根 x* 领域 : x x* ) 将按阶 P 1 5 1.618 收敛 到根 x* 。 k k f (x ) 弦截法 x k 1 k 1 x k (x x f (xk ) f (xk 1 ) 用弦截法求解方程 x g(x) 与 Atken 加速算法的几何解释： 3 1 30 3 x x x2 x x x x 21 (xx ) x 0 21 x1 x0x0 2x1 x2 坐标（与纵坐标相等）为： 01 p p y x 2 p 线与直线交于一点，则2 的 横 p x0 为x g(x) 的近似根，迭代 x1 g(x0 )，x2 g(x1 ) 在曲线上走了两点 p0 (x0 , x1 )，
6、 p1 (x1 , x2 ) 。引弦 从图形上看，尽管迭代值比和更远偏离了，但按弦截 此即为 Atken 加速计算方法的公式。 如图所示，所求的根 x* 是曲线 y g(x) 与 y x 的交点 p* 的 横坐标。 x2 01xx * x （ Atken 加速计算）法求得的 x3则地扭转了这种发散的趋 势。 4.4.3抛物线法 2 k k 2 f xk ,x k 1 kk 1k 2 x 4 f xf x ,x 设已知 f (x) 0 的三个近似根为 xk , xk 1 , xk 2，以这三点为节点构造 二次 插值多项式 p2 (x)，并适当选取 p2 (x) 的一个零点 xk 1 作为新的近似
7、根。 这样确定的迭代过程称为抛物线法（亦称密勒 法）。 抛物线插值多项式为： p2 xf xk f xk , xk 1 x xk f xk , xk 1 , xk 2 x xk x xk 1 有两个零点： x 其中， f xk ,xk 1 f xk ,xk 1,xk 2 xk xk 1 抛物线法的几何意义就是用抛物线 y p2 (x)与 x 轴的交 点 xk 1 作为所求根 x* 的近似值。为了在二次插 值多项式的 零点中定出一个值 xk 1 ，需讨论根式前正负符号的 取舍问题。 ，为此，只 自然需要选定更接近所求根 x*的作为 x k 1 要令根式前的符号与 f xk ,xk 1 f xk
8、,xk 1,xk 2 xk xk 1 的符号相同即可。 显然，抛物线法必须有三分个启动值x0 , x1 , x2。 例 用弦截法、抛物线法求解方程f (x) xex 1 0 初值可分别取为 x0 0.5, x1 0.6和 x0 0.5, x1 0.6, x2 0.56532， 定理 4.4.2 若 f (x) 在根 x* 的邻域 x x* 内有三阶连 续导数，且对 x ，有 f (x) 0 。又初值 x0 , x1 , x2 ，那 么当领域 充分小时，抛物线法将按阶 p 1.840收 敛于 根 x* 。 可见，抛物线法（ 1.840 阶）比弦截法（ 1.618 阶）的收敛性 更接近于 Newton 法（ 2 阶）。定理的证明略。 ？ 这些求解非线性方程的迭代方法可以用于方程组的情况吗？ 4.4 弦截法与抛物 法 弹幕问题： 1. 用弦截法求解方程 x g(x) 与 Atken 加速算法有关系 吗？ ( 有 ) 2. 弦截法与抛物线法就是用曲线上的两个和三个初始点进行 插 值，用插值函数的解作为近似解，然后逐次迭代。有必要 用更 高次的插值函数构造迭代吗？ ( 没有 )
