1、2.2 求插值多项式的 Lagrange 法 2.2.1 Lagrange 插值基函数 0 1 20n)A (x) l (x) (x x )(x x ) (x x 0 (x x1 )(x x2 ) ( x xn ) l (x) 1000 0 y 10 xx0x1 x2 x n y f (x) n yy1 y2 00 0 l (x) l1 (x) ln (x) 1 (x0 x1 )(x0 x2 ) (x0 xn ) (x x0 )(x x2 ) (x xn ) l (x) 1 n xn1 ) (x x0 )(x x ) l (x) (x (xn x0 )(xn x1) (xn xn1) (x1
2、x0 )(x1 x2 ) (x1 xn ) 若函数 h(x) 有 h(a) 0，则 h(x) (x a)h1 (x) 00 0 1 1 A0 (x) A0 (x0 x1 )(x0 x2 ) (x0 xn ) 1000 0 y 0100 xx0x1 x2 x n y f (x) n y 2 y 1 y 0 l (x) l1 (x) ln (x) 000 1 y0l0 (x) y0l0 (x) y1l1 (x) y0l0 (x) y1l1 (x) y2l2 (x) Ln (x) y0 l0 (x) y1l1 (x) y2 l2 (x) ynln (x) Ln (xi ) yi , (i 0,1,
3、2, , n) 可见，只要求出 l0 (x) ， l1 (x) ， ln (x) 就可 求出插值多项式。 ki l (x ) 1 i k 0 i k 的 n 次插值多项式， 即 k l (x) (x x0 ) (x xk1)(x xk1) (x xn ) (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn ) 函数组 l0 (x) ， l1 (x) ， ln (x)仅与节点的取 法有关，称其为在 n 1 个节点上的 n 次基本插值多项式或 n 次插值 基函数 , 即 Lagrange 插值基函数。 函数 lk (x) 是对节点 xk (0 k n)，满 足插值条件 k y n k
4、 0 (x x0 ) (x xk 1 )(x xk 1 ) (x xn ) (xk x0 ) (xk xk 1 )(xk xk 1 ) (xk xn ) 2.2.2 Lagrange 插值多项式 通过 Lagrange 插值基函数求出插值多项式的方法称 为 Lagrange 插值法。将形如 y0 l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) 的插值多项式称为 Lagrange 插值多项式，记为 Ln xy 0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y n ln ( x ) 101 x x0x x1 L ( x ) y y x0 x1 x1 x0 100 L ( x) y y1 y0
5、 ( x x ) x1 x0 可见，几何上一次插值函数就是通过曲线 f (x) 上两点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ) 的直线方程。 一次插值就是用直线yL1 ( x )近似 代替 曲线 y f (x) , 故两点插值又叫 线性插值。 x 1 y L y f x x x 0 0 x0x1 , ) 0 0 ( x y , ) 1 1 ( x y y 当插值节点数为 2 时， 即 x yy 0 x 0 x 1 y 1 ，可以得到两点插值公 式： 同理，若 n 2，则可以得到三点插值公式： 12 010210122021 L2 x y0 xx1xx2 yxx0 xx2 yxx0 xx1 x xx xx xx xx xx x y L22 x y f x , ) (x y 11 11 0 0 (x , y ) y x x 0 x 1 0 2 2 (x , y ) 三点插值函数是一个二次函数，故称之为 二次插值。 二次插值在几何上就是用通过曲线上三 点的抛物线近似代替曲线，故也称之 为 抛物线插值。 Lagrange 插值法有什么不足吗？当n+1个节点的 Lagrange 插值 多项式求出后，再增加一个节点时，怎样求出相应的n+1 次插值 多项式？ ？
