1、第 4 章 养老保险问题 非线性方程的数值解 法 4.1 养老保险问题与根的搜索 4.1.1 养老保险问题分 析 养老保险是现代社会人们非常关注的问题。投保人需要 根据保险公司提供的不同保险方案，分析保险品种的实际 投 资价值，即如果已知所交保费和保险收入，分析计算所 交保 费的实际利率是多少？保险公司也需要分析用投保人 的保费 实际至少获得多少利润才能保证兑现投保人的保险 收益？ 假设每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金，若 25 岁 起 投保，届时养老金每月 2282 元；如 35 岁起保，届时月 养老金 1056 元；试问投保人的实际月收益率是多少？也就 是保险公 司每月至少应
2、获得多少投资收益率才能兑现保险责 任？ 通常交费是按月进行的，不妨将整个过程按月进行分析。 假设投保人到第 k 月止所交保费及收益的累计总额为，每 k F Fk 1 Fk (1 r) p, k 0,1,., N 1 F (1 r) q, k N ,., M Fk 1 k 月收益率为 r，用 p 、 q 分别表示 60 岁之前每月交 费数、之后 领取数，N 表示投保人停交保费的月份，M 表示停领养老 金的月份。 于是，投保人从开始交纳保险费时起，保险人账户上的资 金数值 Fk 满足下面关系： kk p F0 (1 r) (1 r) 1, k 0,1, 2, N r 容易得出： F k kN r
3、F F (1 r)k Nq (1 r)k N 1, k N 1,., M p p (1 q )(1 r)M N q0 取初始值 F0 =0，保险公司至少要保证 FM =0，从而得到每月收 益率 r 满足方程： (1 r)M 这是一个非线性方程。 在工程和科学技术中许多问题也常归结为求解非线性方程问题。 代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在 16 世纪就找 到 了三次、四次方程的求根公式。但直到 19 世纪才证明了 n 5 次的一 般代数方程式是不能用代数公式求解的，因此需要研究用 数值方法 求得满足一定精度的代数方程式的近似解。 本章将主要讨论非线性方程求根的数值方法。 4.1.2 根的
4、搜 索 nn10 n f (x) a xn a xn1 ax a 0 a 0 则称 f x0 为 n次代数方程。 (3) 如果 f (x) (x x)m g(x) , 其中 g(x) 0 ，m 为 正整数，则称 x为 f x0 的 m 重根。当 m=1 时称 x为 f x0 的单根。 定义 4.2.1 设有一个非线性方程f x0 中 f (x) 为实变量 x 的非线性函数。 (1) 如果有 x使得 f (x) 0，则称 x为方程的根或为 f x的零点。 (2) 当 f x为多项式，即 f (x) 0 定理 4.2.1 设 f (x) 0 为具有复系数的 n 次代 数方程，则在复数域上恰有 n
5、个根（r 重根计算 r 个）。如果 f (x) 0 为实 系数方程，则复数根成对出现，即当 i0 为 f (x) 0 的复根， 则 i亦是 f (x) 0 的根。 定理 4.2.2 设 f (x) 在a, b连续 , 且 f (a) f (b) 0，则存在 xa, b，使得 f (x) 0，即 f x 在 (a, b)内存在实零点。 节点函数值的符号。 由于 f 01 0, f 25 0 ，则 f x在 0, 2内至少 有一个根，设从 x 0出发，以 h 0.5 为步长向右进行根 的搜索。列表记录各 例 4.2.1考察方程 f xx3 x 1 0 表 4.1.1f x 的符号 可见在 1.0,
6、1.5内必有一根。 此方法应用关键在步长 h的选择上。只要步长 h 取得足够 小， 利用此法就可以得到任意精度的根，但 h 缩小，搜索步 数增多， 从而使计算量增大，用此方法对高精度要求不合适。 4.1.3 逐步搜索 法 x 00.51.01.5 f (x) 的符号-+ 4.1.4 二分 法 2 k 2 k x x bk ak 1b a (4.1.1) 对非线性方程f x0，若 f x在a, b连续 且f af b0 。 无妨设 f x在 a, b 内仅有一个零点x。 求方程的实根 x的二分法过程，就是将 a, b逐步 分半， 检查函数值符号的变化，以便确定包含根的充分小区 间。 设第 k 步
7、的分半计 算 ，且有 2 k x ak bk 确定新的含根区间 ak 1 , bk 1 ， 即如果 f (ak ) f (xk ) 0，则根必在 ak 1 , bk 1 ak , xk 内，否则必在 ak 1 , bk 1 xk , bk 内，于是有 1 2k +1 bk 1 ak 1 (b a) 2 k +1 xak +1 bk +1 ，再分半计算，重复进行。 k lim xk x 计算次数 k 应满 足： 事实上，设 0 为给定精度要求， 则由 可用二分法求方程 f (x) 0的实根 x的近似值到任意指定 的精度， k 2 k xx b a ，可得 分半 ln 2 ln b aln k 根据 (4.1.1) 有 显然，由二分法得到序列 xk ， 二分法的优点是方法简单，且只要求 4.1.2 f (x) 0 连续即 可， 可用二分法求出 f (x) 在 a, b内全部实根，但二分法不能求 复根 及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数较多。 ？ 有没有更好更快的值方法求解非线性方程呢？ 4.1 养老保险问题与根的搜索 2. 二分法计算简单方便，但它收敛较慢，且不能求 。 （ a ） 弹幕问题： 1. 逐步搜索法适合于求解对高精度要求的非线性方程吗？ ( 不适 合 ) a. 复根和偶数重 根； c. 奇数重根； b. 复根和奇数重 根； d. 奇数和偶数重 根。
