1、3.8 3.8 函数最大值与最小值函数最大值与最小值高三数学选修（高三数学选修（）第三章）第三章 导数与微分导数与微分Maximum Value&Minimum Value of Function 1/13实际问题实际问题 如图，有一长如图，有一长80cm宽宽60cm矩形不锈钢薄板，用此矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等小正方形，按加工要求处各挖去一个全等小正方形，按加工要求,长方体高大长方体高大于于10cm且且小于小于20cm,设长方体高为设长方体高为xcm，体积为，体积为Vcm3问问x为多大时
2、，为多大时，V最大最大?并求这个最大值并求这个最大值解：由长方体高为解：由长方体高为xcm，可知其底面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x）cm，（602x)cm,(10 x20).所以体积所以体积V与高与高x有以下函数关系有以下函数关系V=（802x）（）（602x）x=4（40 x）（）（30 x）x.2/13 普通地，在闭区间普通地，在闭区间 a,b 上连续函数上连续函数 在在 a,b 上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值.若改为若改为(a,b)情况情况怎样怎样?a,b 最值存在定理最值存在定理3/13 普通地，在闭区间普通地，在闭区间 a,b 上连续函数上连续函数 在在 a
3、,b 上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值.若改为不连续呢若改为不连续呢?连续连续最值存在定理最值存在定理4/13求函数求函数 在在 内极值内极值；求求 上上连续连续函数函数 最大值与最小值步骤最大值与最小值步骤:将将 f(x)各极值与各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大比较，其中最大 一个是最大值，最小一个是最小值一个是最大值，最小一个是最小值 例例1 1 求函数求函数 在在区间区间 上最大值与上最大值与最小值最小值求求a,b上连续函数上连续函数 最值方法最值方法5/13例题讲解例题讲解 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上最大值与上最大值与最小值最小值解解：从表上可知，最大值是从
4、表上可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4 413454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0当当x 改变时改变时，改变情况以下表改变情况以下表：令令，有，有，解，解得得单调性单调性6/13（2 2）将将 解对应解对应函数值函数值f(x)与与f(a)、f(b)比较比较，其其 中最大一个是最大值中最大一个是最大值，最小一个是最小值最小一个是最小值（1 1）在在(a,b)内解方程内解方程 ,但不需要判断是否是极值点但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值更不需要判断是极大值还是极小值；例题讲解例题讲解 例例1 1 求函数求函数 在区间在区间
5、 上最大值与最小值上最大值与最小值解解：从上表可知从上表可知，最大值是最大值是13，最小值是最小值是4当当x x 改变时改变时，改变情况以下表改变情况以下表：令令，有有，解得解得13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+07/13例题讲解例题讲解所求最大值是所求最大值是1313，最小值是，最小值是4 4 例例1 1 求函数求函数 在区间在区间 上最大值与上最大值与 最小值最小值解：解：令令，有，有,解得解得又又（2 2）将将 解对应解对应函数值函数值f(x)与与f(a)、f(b)比较，其比较，其 中最大一个是最大值，最小一个是最小值中最大一个是最大值，最
6、小一个是最小值（1 1）在在(a,b)内解方程内解方程 ,求求 上上连续连续函数函数 最大值与最小值简化步骤最大值与最小值简化步骤:8/13课堂练习课堂练习求以下函数在所给区间上最大值与最小值求以下函数在所给区间上最大值与最小值.9/13实际问题实际问题 例例如图，有一长如图，有一长80cm宽宽60cm矩形不锈钢薄板，用此薄矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等小正方形，按加工要求个全等小正方形，按加工要求,长方体高大于长方体高大于10cm且且小于小于20cm,设长方体高为设长方体高为xcm，
7、体积为，体积为Vcm3问问x为多大时，为多大时，V最大最大?并求这并求这个最大值个最大值解：由长方体高为解：由长方体高为xcm，可知其底面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x）cm，（602x)cm,(10 x20).所以体积所以体积V与高与高x有以下函数关系有以下函数关系V=（802x）（）（602x）x=4（40 x）（）（30 x）x=4x3280 x24800 x.10/13令令得得比较可知当比较可知当V有最大值有最大值解得解得所以体积所以体积V与高与高x有以下函数关系有以下函数关系解：由长方体高为解：由长方体高为xcm，可知其底面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x)cm，（，（602x)cm,(10 x20).V=f(x)=（802x）（）（602x）x=4x3280 x24800 x.11/13 2.2.求闭区间上连续函数最值方法与步骤求闭区间上连续函数最值方法与步骤;1.1.在闭区间在闭区间 a,b 上连续函数在上连续函数在 a,b 上必有最大上必有最大 值与最小值值与最小值;课堂小结课堂小结课外作业课外作业:教材教材P139 练习练习1、2、3.3.3.利用导数求闭区间利用导数求闭区间a,b上连续上连续函数最值关键是函数最值关键是 求得方程求得方程 (x a,b)根所对应函数值根所对应函数值.12/13谢谢大家！谢谢大家！13/13
