1、第一讲 不等式和绝对值不等式1、不等式第1页1、不等式基本性质：、对称性：传递性：_ 、，a+cb+c、ab，那么acbc；ab，那么acbc、ab0，那么，acbd、ab0，那么anbn.（条件 ）、ab0 那么 （条件 ）第2页练习：1、判断以下各命题真假，并说明理由：（1）假如ab，那么acbc；（2）假如ab，那么ac2bc2；（3）假如ab，那么anbn(nN+)；（4）假如ab,cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)大小。（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（假命题）（假命题）解：因为解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=
2、x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)第3页例2、已知ab0，cd0，求证：例1、求证：假如ab0，cd0，那么acbd。证实：因为ab0,cd0，由不等式基本性质（3）可得acbc,bcbd，再由不等式传递性可得acbcbd。练习：假如ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由。第4页例3、若a、b、x、yR，则 是 成立（）A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件C例5、已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断以下命题真假
3、：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0，a2-2ab+c2=0，bca2，试比较a、b、c大小。解：因为bca20，所以b、c同号；又a2+c2=2ab0，且 a0，所以b=且c0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)0，所以b-c0.当b-c0，即bc时，b=得所以a2c+c3 2a3即a3-c3+a3-a2c0，(a-c)(2a2+ac+c2)0,b0,c0，所以2a2+ac+c20，故a-c0,即ac.从而aca2，所以b2a2，即ba。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，与前面矛盾，故bc.所以acb,ab0，那么（2）假如a
4、b0，cd0，那么ac0，那么当且仅当a=b时，等号成立。证实：因为证实：因为 =a+b-2 00，所以所以a+b a+b ，上式当且仅当上式当且仅当 ，即，即a=ba=b时，等号成时，等号成立。立。称为称为a,b算算术平均术平均称为称为a，b几几何平均何平均 两个正数算术平均大于它们几何平均。两个正数算术平均大于它们几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式几何解释。CABDO第10页例3 求证：（1）在全部周长相同矩形中，正方形面积最大；（2）在全部面积相同矩形中，正方形周长最短。结论：已知结论：已知x,y都是正数。（都是正
5、数。（1）假如积）假如积xy是定值是定值p，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值2 ；（；（2）假）假如和如和x+y是定值是定值s，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值第11页ABENMFDCQPHG例4 某居民小区要建一座八边某居民小区要建一座八边形休闲场所，它主体造型形休闲场所，它主体造型平面图（右图）是由两个相同平面图（右图）是由两个相同矩形矩形ABCD和和EFGH组成面积组成面积为为200平方米十字型地域，计平方米十字型地域，计划在正方形划在正方形MNPQ上建一座花坛，上建一座花坛，造价为每平方米造价为每平方米4200元，在四个相同矩形上（图中阴影部分
6、）铺花元，在四个相同矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。元。（1）设总造价为）设总造价为S元，元，AD长为长为x米，试建立米，试建立S关于关于x函数关系式。函数关系式。（2）当）当x为何值时为何值时S最小，并求出这个最小值。最小，并求出这个最小值。第12页第13页课堂练习：书本P10第5题、第6题、第9题5、设a,bR+,且ab，求证：(1)(2)6、设a,b,c是不全相等正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+
7、a)8abc；（2）a+b+c9、已知x、yR,求证：第14页小结：了解并熟练掌握基本不等式及其应用，尤其要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三一正二定三相等相等”条件。作业：书本P10第7、8、10题，第11题为选做题。第15页3、三个正数算术-几何平均不等式第16页第17页练习：是锐角，求y=sincos2最大值。第18页第19页 13、在对角线有相同长度全部矩形中，怎样矩形周长最长，怎样矩形面积最大？14、已知球半径为R，球内球圆柱底面半径为r，高为h，则r与 h为何值时，内接圆柱体积最大？第20页二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 实数a绝对值|a|几何意义是表示数轴上
8、坐标为a点A到原点距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上对应点分别为A、B，那么|a-b|几何意义是A、B两点间距离。第21页 联络绝对值几何意义，从“运算”角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间关系：分ab0和ab0时，以下列图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b第22页（2）当ab0,b0，以下列图可得：|a+b|a|+|b|Obaxa+b假如a0，以下列图可得：|a+b|00，|x-a|,|y-b|x-a|,|y-b|，求证：，求证：|2x+3y-2a-3b|5.|2x+3y-2a-3b|5.证实：|2x+3y-2a-3b|
9、=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|0，则|x|a解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aax|x|a第34页（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式解法：换元法：令t=ax+b,转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式解集。分段讨论法：第35页例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7补充例题：解不等式第36页|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后v集合上解意义区分|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|ax+bc,并 课堂练习：P20第6题第37页第38页x12-2-3ABA1B1第39页第40页yxO-32-2第41页利用绝对值不等式几何意义利用绝对值不等式几何意义零点分区间法零点分区间法结构函数法结构函数法作业：作业：P20第第7题、第题、第8题题(1)(3)练习：练习：P20第第8题题(2)第42页补充练习：解不等式：（1）1|2x+1|3.（2）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）第43页作业作业第44页8.解不等式解不等式:第45页第46页
