1、贯通高中数学一条主要线索函数北京教育学院数学系 顿继安TEL:66025001E-MAIL:第1页活动活动1：标准与纲领函数部分内容比较：标准与纲领函数部分内容比较n（1）比较内容）比较内容：n函数概念与基本初等函数（数学1：函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数，数学4：三角函数）n课程标准与纲领比较n教材比较（函数概念部分，函数应用部分，三角函数部分）第2页活动活动1：标准与纲领函数部分内容比较：标准与纲领函数部分内容比较（2）活动内容：活动内容：经过上述比较，你发觉课程标准经过上述比较，你发觉课程标准对函数要求有何特点？对这些特点对函数要求有何特点？对这些特点,你最有感想和
2、你最有感想和最有疑惑是什么最有疑惑是什么?你依据是什么？举例说明你依据是什么？举例说明.活动形式：独立思索与活动形式：独立思索与分组交流分组交流 分组研讨，各组由召集人组织，对研讨结论尽心分组研讨，各组由召集人组织，对研讨结论尽心概括并做统计。概括并做统计。时间：时间：1010分钟分钟第3页活动活动1：标准与纲领函数部分内容比较：标准与纲领函数部分内容比较n（3 3）集中观点）集中观点第4页目录n课程标准对函数教学要求有何特点？n 为何课程标准提出了这种要求？n对教学中提议n需要研究问题第5页一.课程标准关于函数教学要求特点n重视实例在概念形成阶段中作用重视实例在概念形成阶段中作用n函数时描述
3、辩论之间依赖关系主要数学模型n经过详细实例，了解指数函数模型实际背景n经过实例，直观了解对数函数模型所刻画数量关系，初步了解对数函数概念，体会对数函数时一类主要函数模型。n三角函数是描述周期现象主要数学模型。第6页一.课程标准关于函数教学要求特点n强调应用，而且对于应用定位既包含应用形成强调应用，而且对于应用定位既包含应用形成函数概念思想分析实际问题，还包含函数在数函数概念思想分析实际问题，还包含函数在数学其它部分知识上应用，学其它部分知识上应用，纲领教材：函数应用举例（一节）：包含利息问题、气压问题体重与身高关系）n课标教材：函数应用（一章）n1 函数与方程 利用函数性质判断方程解存在；利用
4、二分法求方程近似解n2实际问题函数建模实际问题函数刻画；用函数模型处理实际问题；函数建模案例第7页一.课程标准关于函数教学要求特点n在函数本身性质研究中，加强了单调性在函数本身性质研究中，加强了单调性 要求，要求，降低了奇偶性要求，淡化定义域、值域计算降低了奇偶性要求，淡化定义域、值域计算n纲领：了解函数单调性和奇偶性概念，掌握判断函数单调性和和奇偶性方法 n课标：经过已学过函数尤其是二次函数，了解函数单调性、最大（最小）值及其几何意义；结合详细函数，了解奇偶性含义；第8页一.课程标准关于函数教学要求特点n增加了一些新知识：增加了一些新知识：n分段函数；分段函数；n二分法；二分法；n幂函数幂函
5、数第9页一.课程标准关于函数教学要求特点n加强了函数在数学文化方面要求加强了函数在数学文化方面要求。n纲领实习作业纲领实习作业：实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识处理实际问题能力。n课标实习作业课标实习作业：依据某个主题，搜集17世纪前后发生一些对数学发展起主要作用历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）相关资料或现实生活中函数实例，采取小组合作方式写一篇相关函数概念形成、发展或应用文章，在班级上进行交流。第10页二.为何课程标准对函数要求有了这种特点？n函数概念本质是什么？函数方法意义是什么？n函数概念是怎么发展起来？它与映射关系是什么？n 中学生在函数学
6、习情况是怎样？第11页从一个问题开始对函数概念本质和函数方法意义讨论n某工程队要招聘甲、乙两个工种工人150人，甲、乙两工种工人月工资分别为600元和1000元，要求乙工种人数不少于甲工种人数2倍。问甲、乙两个工种各招聘多少人时，可使每个月所付工资最少？第12页n解法1：依据甲-600元/人，乙-1000元/人能够断定乙种工人越少越好，但又要满足题目中条件“乙人数不少于甲人数2倍”，“不少于”即“大于或等于”，即等于2倍是乙种人最少，从而求出了甲种人取值范围 150 x=2x =x=50 而甲越最大时，付钱最少。n解法2：设甲工种招聘工人为x，工资z总额为y，则y是x函数：n y600 x10
7、00（150 x）n即：y150000400 xn150 x2x，解得：x50n函数减函数，所以当x50时，y取最小值。第13页n函数方法提供了一个把问题逻辑关系清楚表示出来语言。n 函数本质是变量间依赖和对应关系，把握了这一本质，才能应用函数。n研究函数目标在于经过一个变量改变来观察或把握另一个变量改变情况，所以单调性是关键。n奇偶性（对称性）本身是几何性质，它为单调性研究提供了方便，但不能喧宾夺主。n详细问题定义域和值域经常是天然，它们更多考查学生计算技能，而与对函数了解无关。第14页n函数为其它数学内容处理提供了新思绪n有了函数，方程近似解能够得到系统研究n二分法第15页应用函数关键是什
8、么？n复印费故事n函数与高中数学其它部分关系第16页为何复印费如此记价？n一张A4纸价格是1角钱，B4纸3角钱一张，B4纸是A4两倍。n“假如我用两张A4也就是2角钱，你还费事了”n“你能够用两章A4呀”。我当然选择了A4纸。n直观来说，复印成本应该是纸张大小正百分比函数吗，复印单价也应该是成本一次函数。不过为何复印店会费劲不讨好呢，问了好几个服务员，终于有一个小伙子明白说：复印成本主要是墨用量，而用墨量主要取决于里面刷子转数，假如印A4纸，里面刷子转半圈，不过B4纸却要转3圈，所以价格也是3倍。n。第17页函数与其它高中数学内容关系n 算算 法法：找出处理问题步骤关于在于把握和表示规律，详细
9、实施中关键在于变量选择和函数关系确实定。n信信息息安安全全与与密密码码：加密解密过程就是函数运算，公开密钥关键就是单项函数结构；n欧欧拉拉公公式式与与闭闭曲曲面面分分类类：依据变换对几何图形进行分类，而变换就是映射，就是函数；n矩矩阵阵与与变变换换：矩阵能够看作是一个函数，该函数定义域为平面点集；n数列与差分数列与差分：用离散方法研究函数；n坐标系与参数方程坐标系与参数方程：函数另一个表示方式；n开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数：任意一个电路都能够用一个布尔函数表示，而且该布尔函数就是一个多项式函数。n 第18页设计一个算法，输出以内能被和整除全部正整数。第19页函数与教育科研因果分析n一
10、次学生调研效果n调研内容：一元一次方程时间(总成绩)n10月n(100分)n12月n（100分）期末期末（120分）分）n3月n（100分）n5月n(120分)成绩78851159595代数式运算一元一次方程一元一次方程为主二元一次方程组和一元一次不等式整式运算第20页函数概念发展过程是怎样？它与映射关系是什么？n函数概念发展过程是数学发展过程缩影：n 积累资料整理积累资料再整理过程n 做反思做反思n 感性理性感性理性n 实际上，函数概念是在微积分学发展过程中逐步得到完善和结果，而映射形式函数概念定义实际上是在集合论发展起来之后，用集合语言对函数概念重新进行描述结果。实际上，整个数学发展历史大
11、致都是一个先积累资料，然后整理，再积累而后再整理重复过程。n “数学家和教材编写者都不是按照他创造数学思维过程叙述他结果，而恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其它东西推导出来”（弗雷登塔尔）第21页中学生函数学习情况是什么样？n 学生对于函数了解n学生对于函数图象了解第22页 学生对于函数了解函数概念n北京市某郊县一所普通农村中学n 在函数单元教学前做过学生问卷，问卷中实际上基本涵盖了函数单元中全部基本问题：求函数解析式问题、求函数值问题、待定系数法确定函数解析式问题、看图象问题、依据数表寻找规律确定函数问题。第一课时函数概念教学中，教师经过分析调查 问卷中题目及身边实例，很
12、自然地得到函数概念，我认为函数 概念学生已经掌握，没想到第二课 时当我问道：用图象法能表示函数关系吗？除了十几位学生回答能够外，多数学生都表现出缄默和犹豫n 第23页访谈对象：席海涛、赵佳琪访谈对象：席海涛、赵佳琪访谈过程：访谈过程：第24页 师：从图象中你能够看出什么？席：水位随时间改变而改变。赵：22日到26日水位不停上升，26日水位最高，26日到27水位下降。席又说：24日到达警戒水位。师：那么水位是时间函数吗？赵答道：水位是时间函数。席补充：因为有一个时间就有一个水 位值。师：这个图象能够表示函数吗？赵、席异口同声道：不能够！师：既然你们能从图象中读出水位是时间函数，为何它不能表示函数
13、关系？席回答：从图象中能读出水位是时间函数，不过不能写出它解析式，所以它不是函数。第25页我又说：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法），有些 函数能够用三种方法表示，有些函数只能够用一个方法表示。如：股市曲线图、气温曲线图，他们只能够用图 象法表示。席、赵思索了片刻说：只要符合函数 定义关系都是函数。第26页学生对函数了解高中生（一）n北京市某示范高中高一。n师：每个同学学号与成绩之间是不是函数？n生：不是！n生：变量在哪里呢？n生：没有对应关系！n生：没有对应关系，两个变量有固定对应关系，第一个x，第二个y，x每一个值，y对应一个值与它有固定对应关系，这个写不出y等于什么。nn几天后
14、，讲课教师又对我说了一名学生对这个问题疑惑。第27页学生对函数了解函数图象n北京市某郊县县城中学初二学生：n问题：小明从甲地到乙地速度每小时2km/h，旅程为6km，小明距离甲地旅程设为y，时间设为x，请写出y与x函数关系。n生（思索，不动）：旅程又是y又是6怎么解？n画图：y62x，描出7个点，老师连出了一个线段。nyx2图象：一个描出散点后认为做完了；还有同学连出一条直线；还有同学描完散点后用连出直线。第28页学生对函数了解图象n北京市某示范高中高一学生n观察1：对数函数ylog 3 x图象n生1：写出3y=x；心算并描点（3,1）和(9，2)，坐标系太短，延长，然后就不动了。n问：做函数
15、图象是不是要考虑一些特殊点，比如与x轴交点n生（思索）：是。n 找与坐标轴交点，又经历了一番挫折找到了，描出点。n就认为自己话完了，我又问他：x轴下面有没有点，你还是规范些吧，列个表，nn对生2观察：画出坐标系，没有进展n生3：看书，按照反函数法作出图象，不过她并不明白为何对数函数是指数函数反函数，她问我，我让她自己先思索一下，以后郑老师就集中了，不知道她明白了没有。第29页n高一下：正切函数图象n 取点：0，/2,3/2,2n正弦函数就是这么画。n能不能描出模样？n换点。n怎么换？n生2：/4，/4，0，n老师非常着急 n还是直接演示吧！n我到现在连三角函数图象都做不出来，还是家教老师教我。
16、第30页一位初中教研员自责：一位初中教研员自责：n为何到高中学生迟迟不能入门？高中上来就是函数，了解函数不是经过技能训练到达!n技能训练和思维训练切入点和结合点需要思索。不能仅是列表、描点、连线，经过技能真正得到是什么？经过技能训练从感性上升到理性，这么在高中学习才不会困难。思维训练不到位，只是技能层面。n7个点后直接连线造成了后患。第31页研究结论（一）研究结论（一）“不能写出它解析式，所以它不是函数。”这是学习难点，在数学中，学生认为“式子”和“数”是比较实在。“我不明白一个式子怎么就成一条直线了”，作图，对于初中生和高中生都是如此困难，似乎原因是相同：不知道怎样把一个解析式变成图象。第3
17、2页研究结论（二）了解函数概念需要一个漫长过程，需要循序渐进，不过，并不意味着我们无所作为：学习函数主要目标之一就是帮助学生形成一个改变眼光看世界思维方式；以及怎样分析纷繁复杂改变中改变缘起，也就是找自变量、因变量和他们依赖关系。作图是一个技能，不过技能形成假如离开了思维发展，其生命力是脆弱，所以应该经过重视学生作图过程发展来挖掘作图思维价值第33页三.新课程，我们怎么教？n活动活动2：n 在新课程函数教学中，您感觉最大挑战是什么？第34页n1.挖掘数学建模和数学应用教育价值挖掘数学建模和数学应用教育价值n概念形成过程本身就是数学建模过程n数学洞察力：大量不一样背景下问题用数学视角进行审阅,把
18、握问题数学本质n数学概括和表示能力：引导学生将自己（感性）认识用简练而准确语言表示出来，从而使得自己活动从一个层次上到另一个层次n应用既应用知识结论，也要用知识形成中方法。n检验学生对知识、方法掌握情况n应用和联络实际意义在于经过大量生活中例子让学生了解他们所学这些内容就是他们生活中一些现象抽象和升华，一些基本概念就在他周围，从而对数学产生亲切情感体验。n 第35页2.从知识了解深刻性角度认识数学文化价值从知识了解深刻性角度认识数学文化价值n主要数学概念产生过程中都对人类行为、观念、态度、精神产生影响。n许多问题原来属于人类知识不一样领域，需要各个领域教授分别进行研究，不过用数学眼光来看、走进
19、数学避风港，它们却含有相同结构，经过数学这种语言，世界内部友好得以揭示，这就是数学魅力！n罗素说：数学不但拥有这里，更拥有美一个冷竣而严厉美。第36页n3.在教学中需要明确各类不一样性质问题，从而确在教学中需要明确各类不一样性质问题，从而确定不一样处理策略定不一样处理策略n 在值得花时间地方花时间n 在学生需要帮助地方进行有效帮助n怎样帮助学生识别函数概念技能形成过程中发展思维n当基本概念和基本方法学习后，怎样灵活利用这些知识需要是解题策略支撑n教育需要期待，也需要等候！教育需要期待，也需要等候！第37页4.教学设计中要关注三维目标n教学过程是已经有概念向科学概念发展过程;n科学概念发展必定蕴
20、涵着科学思维方法发展;n伴伴随科学概念和科学方法形成，形式科学态度、科学观念和科学精神形成。第38页n对数函数性质教学目标对数函数性质教学目标n知识与技能目标知识与技能目标：n经过对“我们会研究对数函数哪些性质及怎样研究这个函数性质”探究，深入了解对数概念，了解互为反函数两个函数图象以及它们性质间关系，在此基础上了解对数函数概念、图象和性质，并会依据对数函数性质画出，依据对数函数定义域确定复合函数定义域。n方法目标方法目标：n经过对数函数性质研究过程、尤其是对数函数图象作图过程，深入了解反函数思想，经过寻求能够反应对数函数走势最少点作图过程，了解最少点存在于对数函数性质把握中，感受到数形结合方
21、法深刻内涵。n情感态度价值观态度情感态度价值观态度：n经过对“我们会研究对数函数哪些性质”问题思索和探索，帮助学生反思关于函数性质研究框架，发展学生主体建构知识能力，建立学生进行数学学习和探究自信；n经过对“我们怎样研究对数函数”问题以及对数函数图象做法探索，在详细函数种深入了解反函数，让学生感受自己反函数概念了解上发展；在找到愈加简练却合理三点作图法种认识到图象深刻反应函数走势和性质意义并产生作图兴趣。第39页需要深入研究课题n高中生函数概念学习困难表现、原因分析及处理策略研究n函数概念学习过程中学生发展案例n函数教学案例开发第40页结束语n 函数在你身边n函数是中学数学一条主要根本n 函数教学应返璞归真 第41页
