1、 3.2 等差数列 （一） l教学目标 l 1理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项 公式 l 2掌握等差数列的通项公式，能由al、d、n、 an中的三个求另外一个，了解等差数列通项公式的 推导过程及思想，并能在解题中加以应用 l 3培养学生观察、分析、归纳、推理的能力 l教学重点： l 1等差数列的概念 l 2等差数列通项公式的推导及应用 l教学难点： l 理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义 (即任意一项an可表示为首项与公差的n-1倍的和） 一.复习引入 l数列的有关概念及给出数列的两种方 法 l 通项公式和递推公式 l 全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码(表示鞋底 长，单位是cm)
2、分别是 l l l 某剧场前l0排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56 l 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位：m)是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500 二、讲解新课： 仔细观察这三个数列，看看这些数列有什 么共同的特点? 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1/2 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2； 对于数列，从第2项起，第一项与前一项的差都等于500； 由此，我们可以看出，这三个数列都有一个共同的特 点，那就是：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同 一个常数，我们把具有这种特点的
3、数列叫做等差数列 数学语言： anan1=d （d是常数，n2，nN*） 定义：一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一常数，那 么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示 。 由定义归纳通项公式 a2 a1=d， a3 a2=d， a4 a3=d， 则 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d 由此得到 a n=a1+(n1)d an1an2=d, an an1=d. 这（n1）个式子迭加 an a1= (n1)d 当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数 列a
4、n的通项公式。 练习 l根据等差数列的通项公式，求出上面三个数 列的通项公式： l数列： l数列： l数列： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500 三例题讲解 l 例1 (1)求等差数列8，5，2，的第20项 l (2)-401是不是等差数列-5，-9，-l3， 的项?如果是，是第几项? l解：(1)由题可得 l所以这个数列的通项公式为 l当n=20时，有 a n=a1+(n1)d nN* (2)-401是不是等差数列-5，-9，-l3，的 项?如果是，是第几项? l(2)解析：要判断-401是不是
5、数列的项，关 键就是求出数列的通项公式an，看是否存在 正整数n，使得an=-401成立 l解：由题可知 l所以这个数列的通项公式为： l令 解得n=100 l即-401是这个数列的第100项 a n=a1+(n1)d nN* l例2 在等差数列an中，已知a5=10,a12=31, l(1)求首项a1与公差d (2)求al9. l解：(1)由题可知 l这是一个以al和d为未知数的二元一次方程组 ，解这个方程组，得 l即这个等差数列的首项是-2，公差是3 l(2)由(1)可知这个数列的通项公式为 由此我们可以看到：只要已知等差数列的任意两项， 就可以求出首项al及公差d，而al与d求出来了，数
6、列 也就确定下来了(可以由al、d求任何一项)。 因此，由等差数列的两项就可以确定这个数列 四.等差数列的性质 l由等差数列的通项公式有 l则有 l这个公式是等差数列通项公式的推广形式， 我们把它作为等差数列的一个性质,即： l根据这个性质，上例(2)又可解为： l由 l有 l例3 梯子的最高一级宽33cm，最低一级 宽ll0crn，中间还有10级各级的宽度 成等差数列，计算中间各级的宽度 l 分析：要求梯子中间各级的宽度， 必须知道各级宽度组成的等差数列的公 差因此，问题相当于已知等差数列的 首、末两项及项数n，求公差d(注意： 梯子的级数是10+2=12级) （解答见教材,解题要注意规范和
7、准确 ，对实际问题，要做出总结性的回答) 练习： 1. 100是不是等差数列2，9，16，的项？如 果 是，是第几项？ 如果不是，说明理由. 2. 在正整数集合中，有多少个三位数？ 3. 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？ 解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列 。 由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900 解解3 3：这些数组成首项：这些数组成首项a a 1 1 =105,=105,公差公差 d d=7=7的等差数列。的等差数列。 a a n n =105+(n=105
8、+(n1)1)7 7 又又a a n n 999999 即即 105+(n105+(n1)1)7999 7999 解得解得 n128n128 n nN N * * n n最大为最大为128128， 故共有故共有128128个。个。 7 5 练习：4. 等差数列an中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则 a12=_ 课后思考： 能否对上面的结论进行推广： 若ap=q 且aq=p (pq) 则ap+q= 0 ? 0 小 结 l 这节课我们主要学习了： l等差数列的定义： l等差数列的通项公式： 公式的推导 l等差数列的性质： l要掌握好这些公式和性质，并能灵活 运用于解题当中 作 业 习题习题3.2 1, 2, 4, 5, 6, 83.2 1, 2, 4, 5, 6, 8 补充题：补充题：已知等差数列的首项已知等差数列的首项 第第1010 项是第一个大于项是第一个大于1 1的项求公差的项求公差d d的取值范围的取值范围
