1、1.空间向量及其运算 复习回顾： 平面向量 1、定义： 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a b a b a (k0)k a (k0)k a (k0)k 空间向量的数乘 空间向量的加减法 a b a b OA B b 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 思考：空间任意两个向量经过平移
2、一定共面？ 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 数乘分配律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法结合律 成立吗 ？ a b c O A B C ab+ a b c O A B C bc+ (空间向量) ab+ c + ( ) ab+ c +( ) ( a + b )+ c = a +( b + c ) 向量加法结
3、合律：空间中 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 也叫封口向量 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 小结 加法交换律 数乘分配律 加法结合律 类比思想 数形结合思想 数乘:ka,k为正数,负数,零 例如 : 定义: 我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,
4、 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 AB CD AB CD A1B1 C1D1 AB C D a 平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. a 记做ABCD-A1B1C1D1 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 G M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行
5、六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 练习：课本89页1，2 练习：课本89页1，2 2.共线向量与共面
6、向量 二.共面向量: 1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量. OA 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量就不一定共面的了。 平面向量基本定理： 如果是 同一平面内两个不共线的 向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 思考：空间任意向 量 与两个不共线 的向量 共面时， 它们之间存在怎样 的关系呢？ 平面中:已知A、B、P三点共线，O为直线AB 外一点 , 且 ，得 =1 l A P B 例3、如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证：四点E、F、G、H共面； 平面中三
7、点共线 空间中四点共面 小结 l A P B 备用 A B M C G D 练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A B M C G D (2)原式 练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A B C D D CB A 练习2在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. E A B C D D CB A 练习2 E 在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. A B C D D CB A 练习2 E 在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 作业 A M C G D B AB CD AB CD AB CD AB CD A1B1 C1D1 C AB D b a 平面中:已知A、B、P三点共线，O为直线AB 外一点 , 且 ，求 的 值. 学习共面
