1、2008年中国科学技术大学 数学分析试题解答 试题解答由SCIbird提供 说明：自07南开数分和08北大数分解答之后，再奉献08科大数分试题解答。试题仍在博士家园的博士数学论坛首发，大家若有转载请注明出处。 关于试题先做下如下说明： 这套试题基本保留了9道原题，其中原第三题实在太过糟糕，破坏了试卷整体质量，所以决定舍去，而用另外的试题代替。部分试题按自己的理解修改了条件。第四题增加了两数列非负条件，第十题增加了函数非负连续条件。最后，一并感谢提供试题的网友们。 1. 设() ,1,0Cxf 求证： (1). 00,1x ,使得( )()002sin f xx = ; (2). 若()则,xx
2、f =()2sin x x =有且仅有三个根. 证明：(1) 令()()2() sinF xfxx= ，则 (0) 0, (1) 0FF. 由连续函数零点定理知， 存在000,1, ( ) 0xFx=. 即 00,1x ,使得( )( )002sin f xx = . (2) 令t x= , 2() sintgt t= . 当0t ; 当t 时，() 0gt=, () 1 0g =，存在0 ，使得只要12 12|,| |xx yy 使得1nnaM=. 因为1nnnx xa+ +，所以 11111()nkknkkkx xxxaM=+= ，从而 10|nx Mx + . 这说明数列nx有界，其必要
3、收敛子列。设knx为其一个收敛子列，knx a . 因为级数1nna=收敛，所以0, 0rN ,当,0nNp时， 111()nnppnpnkknkkknx xxxar+ +=+= , 存在一个充分大的0N ，使得当,kknNmNmn时 |22kknnxa xa 时 |22llnnxa ax 时，|mxa, 使得当,mn N时，|() ()|nmfx fx 时，() ()nnf xPxb= + , 其中()Px为某一 固定的多项式，nb为某一收敛数列(因为,nm nmbb a =为柯西列)。 因为由已知条件 () () () ()nnf xfxfxPxb=一致收敛于0 及 limnnbb= ,
4、所以有 () ()f xPxb=+, 即()f x也是多项式，证毕. 6. 计算曲面积分2723()I xxyzdS=+，其中 222:1yzx + += 解：因为曲面关于平面yoz对称，72x y是x的奇函数，所以720xydS=. 类似的，由对称性知30zdS=. 注意到曲面关于,x yz是轮换对称的，所以 222x dS y dS z dS=. 故 2723 2 222114() ()333IxxyzdSxdS xyzdS dS=+= = += = . 7.证明：2204ln, 1ln(1 2 cos )0, 0()1rrrrdrIr +=时，由上面结果可知 222220021 1ln(
5、1 2 cos ) ln (1 cos )(4ln(4) rrd r d rIr I rrr r += +=+=(3) 最后证明 (1) 0I = . 22 2200 0(1)2ln(2 2 cos ) ln 4sin 4 ln 2 2 ln sin2rddId = =+ , 记 20lnsin2I d=, 则 2000ln sin 2 ln sin 2 ln 2sin cos22uuI d udu du=002ln2 2 lnsin 2 cos22uudu du=+ +对上式最后一项用tu= +换元得，20cos sin22uudu s du=, 代回上式 得到 2ln2 2II =+, 从
6、而 2ln2I = . 所以 22200ln(2 2 cos ) ln(1 4 sin 4 l)2n2 2 0rd d II = = =+=. 综合(1)(2)(3)讨论，命题证毕。 8. 设函数(, )f xy在R2上二阶连续可微，满足|0f= , 22( , ) | 1yxy x+= , 及lim ( ,0) 1xfx+= . 证明：存在一点00(, )x y，使得00(,)|0xyf . 其中为拉普拉斯算子. 注：想了两个星期，最终未能证出，遂放弃之。 9.(15分) 设函数()f x在R上无穷次可微，且满足(0) 0, (0) 0ff= .证明： (1). 存在0 和定义在(,) 上的
7、可微函数()t，使得() sinf tt =； (2). 求()t在0t =处的二阶Taylor展开式. 证明：(1) 令(, ) ( ) sinFty f y t=，由()f x在R上无穷次可微，知(, )Fty也是无穷次可微的。又(0) 0, (0) 0ff=，所以 (0,0) 0, (0,0) (0) 0yFFf = =. 由隐函数定理知，存在0 和定义在(,) 上的可微函数()yt=， 使得(, () 0Ft t ，即 () sinf tt = . (2) () sinf tt = 两边对t求导，得 () () cosf tt t = , 2( ( ) ( ) ( ( ) ( ) si
8、nf ttftt t += 由(0) 0 =，得 1(0)(0)f =及 3(0)(0)(0)ff =所以 22 22311(0)( ) (0) (0) (0) ( ) ( )2(0)2ft t tot t totff =+ + += +. 10. 设定义在R上的非负连续函数()f x , 满足0() ()xafx ft dt(a为常数)，证明： (1). 当1a 时，() 0fx； (2). 举例说明，当01a,使得00()1Fx; 另一方面，00() () 0xxFx Fxedx , 这就产生了矛盾！ 从而当1a 时，() 0fx . (2) 当01a下面验证这样定义的函数()f x满足题
9、意。显然此()f x在R上非负连续。 当0x 时，0() ()xafx ft dt成立； 当0x 时， 1111001(1) (1) (1) ()1(1)aa aaxaxaaadt a t dt a x a x ff xaat+ = =+此时也满足 0() ()xafx ft dt. 后记：今年科大试题质量挺高的，可美中不 足的是个别题貌似条件有遗漏，但试题总的来说还是不错的。 第8题， 自己尝试许多次都失败了， 最终不得部放弃，有些遗憾。07 南开、08 北大、08 科大，对这 3 套数学分析试题的解答可以说是SCIbird 在博士家园论坛的三部曲吧。由于个人能力有限，解答也许有漏洞，也许不是最简洁的，这里只当抛砖引玉，为大家提供一个参考，大家自己还需要多揣摩揣摩。
