1、1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质 一般地，对于n N*有二项定理: 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？ 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1615201561 15101051 14641 1331 121 11 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 议一议 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下
2、面的系数吗 ? 对称性 每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + 详解九章算法中记载的表 杨 辉 杨辉三角 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点 对称性 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到 图象的对称轴： 二项式系数的性质二项式系数的性质
3、 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 练习： 1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( ) A 第项 B 第项 C 第项 D 第项 则n=_ B 8 增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质二项式系数的性质 由： 即二项式系数前半部分 是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。 增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质 1.在(1
4、+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 . 3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项 的系数。最大的系数呢？ 练习 2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系 数最大，并求出其最大的二项式系数 最大。解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。 变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？ 解 各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质 例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的
5、和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中，令 ，则： 赋值法赋值法 证明： 例题 2.求证： 证明： 倒序相加法 (1)二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。 小结 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 (1) (2) 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 所以 （3） 例题点评 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值 求多项式的展开式中特定的项(系数) 例 2. 的展开式中, 的系数等于_ 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是 例 3:求 的展开式中 项 的系数. 解的
6、通项是 的通项是 的通项是 由题意知 解得 所以 的系数为: 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算 求展开式中系数最大(小)的项 解: 设 项是系数最大的项,则 二项式系数最大的项为第11项,即 所以它们的比是 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则 所以当 时，系数绝对值最大的项为 解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有 由此确定r的取值 例题点评 三项式转化为二项式 解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式 再利用二项式定理逐项分析常数项得 =1107 _ 解：原式化为 其通项公式为 240
7、 例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式. 问题探究问题探究: : (1)今天是星期五，那么7天后 的这一天是星期几呢?（星期五）（星期五） (2)如果是15天后的这一天呢？（星期六）（星期六） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期一）（星期一） (4)如果是 天后的这一天呢？ 余数是1， 所以是星期六 (4)今天是星期五，那么 天后 的这一天是星期几？ 变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？ 变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？ 所以余数是1， 思考：思考：若将 除以9，则得 到的余数还是1吗？ 8 2.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数 3. 9192除以100的余数是. 由此可见，除后两项外均能被100整除 所以 9192除以100的余数是81 4、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项 式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常 数项，求 a : b 的取值范围。 解： 令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4 故T5 为常数项，且系数最大。
