1、POWERPOINT PRESENTATION Mathematics 数 学 选修 2-3 授课人：范国柱 凯里实验高级中学 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 杨辉 （南宋著名数学家） 杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学 家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政 清廉，足迹遍及苏杭一带。 他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方 面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨 论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即详解九章算法 12卷，日用算法2卷，乘除通变本末3卷，田亩比类乘除捷 法2卷和续古摘奇算
2、法2卷后三种合称为杨辉算法。朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。 杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李 冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。 杨辉在详解九章算法一书中还画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三 角”。 杨辉 课前引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通 过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 一般地，对于n N*有二项定理: 一、新课引入 新知探究 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
3、 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 “杨辉三角”的来历及规律 新知探究 表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的 两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系 数先增后减。 上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角) 新知探究 (1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 (3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较 的大小. (2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 二项式系数的性质 新知探究 (3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较 的大 小. 所以 相对于 的增减情况由 决定 可知，当 时， 二项式系
4、数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 新知探究 （3）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 新知探究 （4）各二项式系数的和 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于： 新知探究 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时， 新知探究 还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质 (a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其 定义域是0,1,2,n,
5、 对于确定的n,可以画出它的图像。例如 ：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立 点. . - - - - - - - - - - 10 8 4 6 2 16 20 f(r) . . . . . 369r 课堂练习 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式 系数最大，则n= ； 课堂练习 a+b 126 19 典例解析 例1 证明在 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 典型例题 典例解析证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数 项的二项式系数的和. 即证 ： 证明：在展开式
6、中 令a=1，b=1得 小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。 新知探究 赋值法的应用 解决二项式系数问题. 赋值法 课堂练习 已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4) 赋值法再思考 课堂练习 典例解析 例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 . 变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. 求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, 利用找伙伴的方式解决. 例3：求 展开式中的常数项. 方法提炼
7、179 -9 典例解析 例4： 的展开式中第6项与第7项的系数相等 ，求展开式中二项式系数最大的项。 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项 2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不 含x的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416 3:(1x )13 的展开式中系数最小的项是 . 典型例题 A B 70 变式引申 课堂小结 (1)二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值. 小结 课堂小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不 能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项， 而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和 掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系 数的问题的重要手段。 注意 POWERPOINT PRESENTATION FACOZOOR THANK YOU FOR READING I WOULD APPRECIATE YOUR COMMENTS 谢谢聆听 请多指教 综合法 25 DESIGN 2 1 3 1 课前引入 思考 探究3 探究3 小结
