1、1 一般地，对于n N*有 二项定理: 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过 杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 45 2 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? 3 每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上 的两个数的和 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + 4
2、 展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点 5 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到 图象的对称轴： 6 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 由： 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值 。 7 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （2）增减性与最大值 8 （3）各二项式系数的和 在二项
3、式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 9 （1） 一般地， 展开式的二项式系 数 、 、 、 、 有如下基本性质： （2） （4） （3）当n为偶数时， 最大 当n为奇数时， = 且最大 （对称性） 10 第0行1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 1 第5行 1 5 1 第6行 1 6 15 6 1 第n-1行 1 1 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 1 10 35 + + + + = 35 5 15 20 10 4 “斜线和” = 11 12 1 2 5 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1
4、 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第1行 1 1 第0行1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 1 3 8 13 21 34 如，写出斜上各行数字的和，有什么律？ 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列 ，也称为兔子数列。，也称为兔子数列。 13 斐波那契数列 斐波那契 （11701250） 意大利商人兼数学家,他 的著作算盘书中,首 先引入阿拉伯数字，将“ 十进制”介
5、绍给欧洲人认 识，对欧洲的数学发展 有深远的影响。 14 例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中，令 ，则： 15 已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4) 16 解 题型:求展开 式中的特定项 17 例2.试判断在 的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由. 解：设展开式中的第r+1项为常数项，则： 由题意可知， 故存在常数项且为第7项， 常数项 常数项即 x0项 18 练习： 0k12, kZ 当k=0、6时，x的幂为正整数 含x的正整数次幂的项共有2项 的展开式中，含x的正整数次幂的项
6、共有多少项？ 19 例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 . 179 变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. 求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, 利用找伙伴的方式解决. 例3：求 展开式中的常数项 . 20 类型：求展开式中系数最大的项 方法:利用通项公式建立不等式组 21 变式练习：变式练习： 在(3x -2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项. 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则 即 3(r+1)2(20-r) 解得 2(21-r)3r 所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 22 (1)二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值. 小 结 23
