1、目录第一章函数与极限1.1复习笔记1.2课后习题详解习题1-1映射与函数习题1-2数列的极限习题1-3函数的极限习题1-4无穷小与无穷大习题1-5极限运算法则习题1-6极限存在准则两个重要极限习题1-7无穷小的比较习题1-8函数的连续性与间断点习题1-9连续函数的运算与初等函数的连续性习题1-10闭区间上连续函数的性质总习题一1.3考研真题详解第二章导数与微分2.1复习笔记2.2课后习题详解习题2-1导数概念习题2-2函数的求导法则习题2-3高阶导数习题2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率习题2-5函数的微分总习题二2.3考研真题详解第三章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记
2、3.2课后习题详解习题3-1微分中值定理习题3-2洛必达法则习题3-3泰勒公式习题3-4函数的单调性与曲线的凹凸性习题3-5函数的极值与最大值最小值习题3-6函数图形的描绘习题3-7曲率习题3-8方程的近似解总习题三3.3考研真题详解第四章不定积分4.1复习笔记4.2课后习题详解习题4-1不定积分的概念与性质习题4-2换元积分法习题4-3分部积分法习题4-4有理函数的积分习题4-5积分表的使用总习题四4.3考研真题详解第五章定积分5.1复习笔记5.2课后习题详解习题5-1定积分的概念与性质习题5-2微积分基本公式习题5-3定积分的换元法和分部积分法习题5-4反常积分习题5-5反常积分的审敛法函
3、数总习题五5.3考研真题详解第六章定积分的应用6.1复习笔记6.2课后习题详解习题6-1定积分的元素法习题6-2定积分在几何学上的应用习题6-3定积分在物理学上的应用总习题六6.3考研真题详解第七章微分方程7.1复习笔记7.2课后习题详解习题7-1微分方程的基本概念习题7-2可分离变量的微分方程习题7-3齐次方程习题7-4一阶线性微分方程习题7-5可降阶的高阶微分方程习题7-6高阶线性微分方程习题7-7常系数齐次线性微分方程习题7-8常系数非齐次线性微分方程习题7-9欧拉方程习题7-10常系数线性微分方程组解法举例总习题七7.3考研真题详解第一章函数与极限1.1复习笔记一、映射与函数1映射（1
4、）映射概念设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中每个元素x，按法则，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称为从X到Y的映射，记作，其中y称为元素x（在映射下）的像，并记作，即，而元素x称为元素y（在映射下）的一个原像；集合X称为映射的定义域，记作，即；X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或，即（2）映射三要素包括： 定义域； 值域； 对应法则（3）映射的特点对每个xX，元素x的像y是唯一的；而对每个，元素y的原像不一定是唯一的（4）满射设f是从集合X到集合Y的映射，若，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的满射（5）单射若对X中任意两个不同元素，它们的
5、像，则称为X到Y的单射（6）一一映射（双射）f既是单射，又是满射，则称 为一一映射（或双射）（7）逆映射与复合映射 逆映射设是X到Y的单射，则由定义，对每个，有唯一的xX，适合则可定义一个从到X的新映射g，即，对每个，规定，则x满足这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域注：只有单射才存在逆映射 复合映射设有两个映射，其中，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映成fg(x)Z显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作，即 复合映射的条件在两个映射组成的复合映射中，g的值域Rg必须包含在f的定义域内，即2函数（1）函数的概念
6、 函数的定义设数集D R，则称映射：DR为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量D称为定义域，记作，即 函数值域函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作或，即 相同函数所具备的的特点a定义域相同；b对应法则也相同 函数的表示方法表格法、图形法、解析法（公式法）（2）函数的性质 有界性a上界：若存在K1，对任意有，则称函数在上有上界，而K1称为函数在上的一个上界b下界：若存在K2，对任意有，则称函数在上有下界，而K2称为函数在上的一个下界c有界：若对任意，存在M0，总有，则称在I上有界 单调性a单调递增当时，b单调递减当时， 周期性a定义（T为正数）b最小正周期函
7、数所有周期中最小的周期称为最小正周期 奇偶性f(x)的定义域关于原点对称，则：a偶函数f(x)f(x)，图形关于y轴对称b奇函数f(x)f(x)，图形关于原点对称（3）反函数与复合函数 反函数的定义设函数f：Df(D)是单射，则它存在逆映射f1：f(D)D，称此映射f1为函数f的反函数 反函数的特点a当f在D上是单调递增函数，f1在f(D)上也是单调递增函数；b当f在D上是单调递减函数，f1在f(D)上也是单调递减函数；cf的图像和f1的图像关于直线yx对称，如图1-1-1所示 图1-1-1 复合函数a复合函数定义设函数yf(u)的定义域为，函数ug(x)的定义域为且其值域则函数称为由函数ug
8、(x)与函数yf(u)构成的复合函数，它的定义域为，变量u称为中间变量注：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，记为，即b构成复合函数的条件更多各类考试资料 v：344647 公众号：顺通考试资料 g与f能构成复合函数的条件是：函数g的值域Rg必须包含于函数f的定义域Df，即.（4）函数的运算设函数f(x)，g(x)的定义域依次为，则可以定义这两个函数的下列运算（5）初等函数 5类基本初等函数 初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数二、数列的极限1数列极限的定义（1）数列的概念如果按照某一
9、法则，对每个，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就称为数列，简记为数列（2）数列的项与通项数列中的每一个数称为数列的项，第n项称为数列的一般项（或通项）（3）数列极限 数列极限的定义设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当nN时，不等式都成立，则称常数a是数列的极限，又称数列收敛于a，记为或 数列发散如果不存在这样的常数a，称数列没有极限，或数列是发散的，即不存在 表达符号“对于任意给定的”写成“存在正整数N”写成数列极限的定义可表达为注： 表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，表示“存在”2收敛数列的性质（1）唯一性如果数列收敛
10、，则它的极限唯一（2）有界性如果数列收敛，则数列一定有界 有界数列对于数列，如果存在正数M，使得对于一切都满足不等式，则称数列是有界的 无界数列对于数列，如果不存在正数M，使得对于一切都满足不等式，则称数列是无界的（3）保号性如果且a0（或a0），则存在正整数N0，当nN时，都有推论：如果数列从某项起有且，则a0（或a0）（4）收敛数列与其子数列间的关系 如果数列收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a 如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，则数列是发散的 一个发散的数列也可能有收敛的子数列三、函数的极限1函数极限的定义（1）函数的极限在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于
11、某个确定的数，则这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限（2）函数f(x)极限的两种情形 自变量x趋于有限值时函数的极限a定义设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式则常数A称为函数f(x)当时的极限，记作注：定义中表示，所以时f(x)有没有极限，与f(x)在点是否有定义并无关系e单侧极限左极限与右极限统称为单侧极限f时极限存在的充分必要条件左极限及右极限各自存在并且相等 自变量x趋于无穷大时函数的极限a定义设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果存在常数A，对于任意给
12、定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|X时，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A就称为函数f(x)当时的极限，记作b简单表述2函数极限的性质（1）唯一性如果存在，则这极限唯一（2）局部有界性如果则存在常数M0和0，使得当时，有|f(x)|M（3）局部保号性 如果且A0（或A0），则存在常数使得当时，有 如果，则存在着的某一去心邻域当时，有 如果在的某去心邻域内f(x)0（或f(x)0），而且则A0（或A0）（4）函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数f(x)的定义域内任一收敛于的数列，且满足：则相应的函数值数列必收敛，且四、无穷小与无穷大1无穷小如果函数
13、f(x)当（或）时的极限为零，则称函数f(x)为当（或）时的无穷小特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小2无穷大（1）定义设函数f(x)在的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式（或|x|X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M，则称函数是当时的无穷大（2）注意当时的无穷大的函数f(x)的极限是不存在的，也称“函数的极限是无穷大”，并记作如果在无穷大的定义中，把换成f(x)M（或f(x)M），就记作（3）渐近线设曲线yf(x) 斜渐近线ykxb特别地，当k0时，曲线有水平渐近线yb 垂直
14、渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为3无穷大与无穷小之间的关系在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且f(x)0，则为无穷大五、极限运算法则1极限运算法则相关定理（1）定理1两个无穷小的和是无穷小有限个无穷小之和也是无穷小（2）定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小（3）定理3a推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则b推论2如果存在，而n是正整数，则（4）定理4（5）定理5如果，而，则（6）定理6（复合函数的极限运算法则） 2时有理分式函数的极限设多项式则又设有理分式
15、函数其中P(x)，Q(x)都是多项式，于是如果，则注：若则关于商的极限的运算法则不能应用，那就需要特别考虑六、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则（1）夹逼准则 夹逼准则1如果数列及满足下列条件：a从某项起，即当时，有；b，则数列的极限存在，且 夹逼准则2如果a当（或）时，；b，则存在，且等于A（2）单调有界准则单调有界数列必有极限 单调增加数列如果数列满足条件就称数列是单调增加的 单调减少数列如果数列满足条件就称数列是单调减少的 单调数列单调增加和单调减少的数列统称为单调数列（3）左极限存在准则设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限必定存在（4）柯西极
16、限存在准则数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数N，使得当时，有2两个重要极限3常见函数的极限注：这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限4有关的不等式或七、无穷小的比较1相关无穷小的定义（1）高阶无穷小如果，则是比高阶的无穷小，记作（2）低阶无穷小如果，则是比低阶的无穷小（3）同阶无穷小如果，则与是同阶无穷小（4）k阶无穷小如果，则是关于的k阶无穷小（5）等价无穷小如果，则与是等价无穷小，记作2定理设且存在，则3常用的等价无穷小八、函数的连续性与间断点1函数的连续性（1）连续设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果则称函数yf(x)在点x0连续（2）左连续和
17、右连续 左连续如果存在且等于f(x0)，即，则称函数f(x)在点x0左连续 右连续如果存在且等于f(x0)，即，则称函数f(x)在点x0右连续 连续函数在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，又称函数在该区间上连续 有理分式函数的连续性对于有理分式函数，只要，则因此有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的2函数的间断点（1）函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义的三种情形 在xx0没有定义； 虽在xx0有定义，但不存在； 虽在有定义，且存在，但（2）函数间断点的定义函数f(x)在点x0处不连续，则称点x0为函数f(x)的不连续点或间断点 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极
18、限及右极限都存在，则x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点（3）函数间断点的类型 第一类间断点a可去间断点在间断点处函数左右极限相等b跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等 第二类间断点a无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（或无穷小）b振荡间断点在趋近间断点的过程中，函数值在某个区间内变动无限多次九、连续函数的运算与初等函数的连续性1连续函数的和、差、积、商的连续性设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差）、积及商（当时）都在点x0连续2反函数与复合函数的连续性（1）反函数的连续性如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数
19、也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续（2）复合函数的连续性 定理1设函数由函数与函数复合而成，若，而函数连续，则 定理2设函数是由函数与函数复合而成，若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续3初等函数的连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的定义区间，就是包含在定义域内的区间十、闭区间上连续函数的性质1函数f(x)在闭区间a，b上连续如果函数f(x)在开区间（a，b）内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，则函数f(x)就是在闭区间a，b上连续2闭区间上连续函数的性质（1）有界性与最大值最小值定理 定理在闭区间上连续的函
20、数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有，使得对于任一，都有则称是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）（2）零点定理与介值定理 零点如果，则称为函数f(x)的零点 零点定理设函数f(x)在闭区间上连续，且f（a）与f（b）异号（即f(a)f(b)0），则在开区间（a，b）内至少有一点，使 介值定理设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点，使得 推论在闭区间a，b上连续的函数f(x)的值域为闭区间m，M，其中m与M依次为f(x)在a，b上的最
21、小值与最大值3一致连续性（1）一致连续性定义设函数f(x)在区间I上有定义如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称函数f(x)在区间I上一致连续（2）一致连续与连续的关系如果函数f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在区间I上一定连续；当f(x)在区间I上连续，f(x)在区间I上不一定一致连续（3）一致连续性定理如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则它在该区间上一致连续1.2课后习题详解习题1-1映射与函数1求下列函数的自然定义域：2下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？解：（1）函数f(x)和g(x)不同，因其定义域不同（2）函数
22、f(x)和g(x)不同，因其对应法则不同，（3）函数f(x)和g(x)相同，因其定义域、对应法则均相同（4）函数f(x)和g(x)不同，因其定义域不同3设求，并作出函数的图形解：的图形如图1-2-1所示图1-2-14试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）；（2）yxlnx，（0，）证：（1）设x1x21因为所以f（x2）f（x1），即f(x)在（，1）内单调增加（2）yf(x)xlnx，（0，）设0 x1x2因为可得f（x2）f（x1），所以f(x)在（0，）内单调增加5设f(x)为定义在（l，l）内的奇函数，若f(x)在（0，l）内单调增加，证明f(x)在（l，0）内也单调增加证：设lx1
23、x20，则0 x2x1l，因为f(x)是奇函数，所以又因为f(x)在（0，1）内单调增加，所以，从而f（x2）f（x1），即f(x)在（l，0）内也单调增加6设下面所考虑的函数都是定义在区间（l，l）上的证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证：（1）设f1(x)，f2(x)均为偶函数，则f1(x)f1(x)，f2(x)f2(x)令F(x)f1(x)f2(x)，于是F(x)f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)故F(x)为偶函数设g1(x)，g2(x)均为奇函数，则g1(x)g
24、1(x)，g2(x)g2(x)令，于是G(x)g1(x)g2(x)g1(x)g2(x)G(x)故G(x)为奇函数（2）设f1(x),f2(x)均为偶函数，则f1(x)f1(x)，f2(x)f2(x)令，于是F(x)f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)故F(x)为偶函数设g1(x)，g2(x)均为奇函数，则g1(x)g1(x)，g2(x)g2(x)令，于是故G(x)为偶函数设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则f(x)f(x)，g(x)g(x)令，于是故H(x)为奇函数7下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？解：（1）yf(x)x2（1x2），因为所以f(
25、x)为偶函数（2）yf(x)3x2x3，因为所以f(x)既非偶函数又非奇函数（3），因为所以f(x)为偶函数（4）yf(x)x（x1）（x1），因为所以f(x)为奇函数（5）yf(x)sinxcosx1，因为所以f(x)既非偶函数又非奇函数（6），因为，所以f(x)为偶函数8下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）ycos(x2)；（2）ycos4x；（3）y1sinx；（4）yxcosx；（5）ysin2x解：（1）是周期函数，周期l2（2）是周期函数，周期（3）是周期函数，周期l2（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l9求下列函数的反函数：解：（1）由解得xy31，
26、即反函数为yx31（2）由解得，即反函数为（3）由解得，即反函数为（4）由解得，即反函数为（5）由y1ln（x2）解得，即反函数为（6）由解得，即反函数为10 设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界解：设f(x)在X上有界，则存在M0，使得|f(x)|M，xX所以Mf(x)M，xX即f(x)在X上有上界M，下界M反之，设f(x)在X上有上界K1，下界K2，即K2f(x)K1，xX取Mmax|K1|，|K2|，则有|f(x)|M，xX即f(x)在X上有界11 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x
27、1和x2的函数值：12 设f(x)的定义域D0，1，求下列各函数的定义域：（1）f(x2)；（2）f(sinx)；（3）f(xa)（a0）；（4）f(xa)f(xa)（a0）解：（1）（2）（3）.（4）当时，xa，1a；当时，定义域为13 设求，并作出这两个函数的图形解：的图形分别如图1-2-2，图1-2-3所示图1-2-2图1-2-314已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图1-2-4）当过水断面ABCD的面积为定值S0时，求湿周L（LABBCCD）与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域图1-2-4解：，又得所以而h0且，因此湿周函数的定义域为15 设xOy平面上有正方形及直线l：xy
28、t（t0）若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求S(t)与t之间的函数关系解：当0t1时，当1t2时，.当t2时，S(t)1得16求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求（1）90的等价摄氏温度和5的等价华氏温度；（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，则该温度值是多少？解：设FmCb，其中m，b均为常数因为F32相当于C0，F212相当于C100，所以故F1.8C32或（1）F90，C5，F1.8（5）3223（2）设温度值t符合题意，则有t1.8t32，t40因此当温度值为40时，华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样
29、的17 已知RtABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按CBA方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍设动点P移动的距离为x，CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系解：因为AC20，BC15，所以，由202152025可知，点P、Q在斜边AB上相遇令x2x152025，得x20即当x20时，点P、Q相遇因此，所求函数的定义域为（0，20）（1）当0 x10时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-2-5）由|CP|x，|CQ|2x，得yx2图1-2-5（2）当10 x15时，点
30、P在CB上，点Q在AB上（图1-2-6）|CP|x，|AQ|2x20设点Q到BC的距离为h，则得所以图1-2-6（3）当15x20时，点P、Q都在AB上（图1-2-7）图1-2-7|BP|x15，|AQ|2x20，|PQ|603x设点C到AB的距离为h，则得综上可得18利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据（表1-2-1）以及指数模型来推测2020年的世界人口表1-2-1解：由表1-2-1中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1于是，在2008年后的第t年，世界人口将是p(t)6708.2(1.011)t（百万）2020年对应t12，于是p(12)6708.2(1.011)127
31、649.3（百万）76（亿）即推测2020年的世界人口约为76亿习题1-2数列的极限1下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察xn的变化趋势，写出它们的极限：解：（1）收敛，（2）收敛，（3）收敛，（4）收敛，（5）发散（6）收敛，.（7）发散（8）发散2（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？（2）无界数列是否一定发散？（3）有界数列是否一定收敛？解：（1）必要条件（2）一定发散（3）未必一定收敛，如数列(1)n有界，但它是发散的3下列关于数列xn的极限是a的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例（1）对于任意给定的0，存在NN，
32、当nN时，不等式xna成立；（2）对于任意给定的0，存在NN，当nN时，有无穷多项xn，使不等式成立；（3）对于任意给定的0，存在NN，当nN时，不等式成立，其中c为某个正常数；（4）对于任意给定的mN，存在NN，当nN时，不等式成立解：（1）错误如对数列对任给的0（设1），存在N，当nN时，但的极限不存在（2）错误如对数列对任给的0（设1），存在，当nN且n为偶数时，成立，但xn的极限不存在（3）正确对任给的0，取，按假设，存在NN，当nN时，不等式成立（4）正确对任给的0，取mN，使，按假设，存在NN，当nN时，不等式成立4设数列xn的一般项，问求出N，使当nN时，xn与其极限之差的绝对值
33、小于正数当0.001时，求出数N解：证明如下：因为要使|xn0|，只要，即，所以（不妨设1），取，则当nN时，就有当0.001时，取，即若0.001，只要n1000，就有|xn0|0.0015根据数列极限的定义证明：证：（1）因为要使，只要，所以（不妨设1），取，则当nN时，就有，即.（2）因为，要使，只要，即，所以（不妨设），取，则当nN时，就有，即.（3）当a0时，所给数列为常数列，显然有此结论以下设a0因为要使，只要，即，所以（不妨设），取，则当nN时，就有，即（4）因为，要使，只要，即，所以（不妨设1），取，则当nN时，就有，即.6若，证明并举例说明：如果数列|xn|有极限，但数列xn
34、未必有极限证：因为，所以，当nN时，有|una|，从而有故但由，并不能推得，例如，考虑数列（1）n，虽然，但(1)n没有极限7设数列xn有界，又，证明：.证：因为数列xn有界，故存在M0，使得对一切n有，由于，故对，当nN时，就有，从而有所以8对于数列xn，若，证明：证：因为，所以，当kk1时，有，又因为，所以对上述，当kk2时，有|x2ka|记Kmaxk1，k2，取N2K，则当nN时，若n2k1，则若n2k，则因此只要nN，就有|xna|即.习题1-3函数的极限1对图1-2-8所示的函数f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理由图1-2-8解：（1）（2）（3）不存在，因为f(0)f(0)
35、2对图1-2-9所示的函数f(x)，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？（1）不存在；（2）；（3）；（4）；（5）不存在；（6）对每个x0（1，1），不存在图1-2-9解：（1）错，存在与否，与f(0)的值无关事实上，（2）对，因为f(0)f(0)0（3）错，的值与f(0)的值无关（4）错，f(1)0，但f(1)1，故不存在（5）对，因为f(1)f(1)（6）对3对图1-2-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？图1-2-10解：（1）对（2）对，因为当x1时，f(x)无定义（3）对，因为f(0)f(0)0（4）错，的值与f(0)的值无关（5）对（6）对（7）对（8）错，因为当x2
36、时，f(x)无定义，f（2）不存在4求当x0时的左、右极限，并说明它们在x0时的极限是否存在解：因为，所以因为，所以不存在5根据函数极限的定义证明：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）因为要使|（3x1）8|，只要，所以，取，则当0|x3|时，就有|（3x1）8|，即（2）因为要使|（5x2）12|，只要，所以，取，则当时，就有|（5x2）12|，即（3）因为x2，x2要使只要|x（2）|所以，取，则当0|x（2）|时，就有即（4）因为要使只要，所以，取，则当时，就有即6根据函数极限的定义证明：证：（1）因为，要使，只要，即，所以，取，则当|x|X时，就有，即（2）因为，要使，只要，即，所
37、以，取，则当xX时，就有，即.7当x2时，yx24问等于多少，使当|x2|时，|y4|0.001？解：因为当x2时，有|x2|0，不妨设|x2|1，即1x3要使|x24|x2|x2|5|x2|0.001，只要取0.0002，则当0|x2|时，就有|x24|0.0018当x时，问X等于多少，使当|x|X时，|y1|0.01？解：因为，要使，只要，即|x|20，取X20，则当|x|X时，就有|y1|0.019证明函数f(x)|x|当x0时极限为零证：因为，所以，取，则当0|x0|时，就有|x|0|，即.10 证明：若x及x时，函数f(x)的极限都存在且都等于A，则证：因为，所以，当xX1时，就有又
38、因为，所以对上面的，当xX2时，就有取XmaxX1，X2，则当|x|X，即xX或xX时，就有|f(x)A|，即11 根据函数极限的定义证明：函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证：必要性若，则，当0|xx0|时，就有特别地，当0 xx0时，有|f(x)A|，即.当0 x0 x时，有|f(x)A|，即.充分性若，则，当0 xx01时，就有|f(x)A|；又，当0 x0 x2时，就有|f(x)A|取，则当0|xx0|时，就有|f(x)A|，即.12 试给出x时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明解：（1）局部有界性定理如果，则存在常数M0和X0，使得当|x
39、|X时，有|f(x)|M（2）证明如下：因为，所以对10，存在X0，当|x|X时，就有|f(x)A|1，从而|f(x)|f(x)A|A|1|A|取M|A|1，则当|x|X时，|f(x)|M习题1-4无穷小与无穷大1两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解：不一定例如，(x)2x与(x)3x都是当x0时的无穷小，但却不是当x0时的无穷小2根据定义证明：（1）为当x3时的无穷小；（2）为当x0时的无穷小证：（1）因为，所以，取，则当0|x3|时，就有即为当x3时的无穷小（2）因为，所以，取，则当0|x|时，就有即为当x0时的无穷小3根据定义证明：函数为当x0时的无穷大问x应满足什么条件，能使？
40、证：因为，要使，只要，即，所以，取，则当0|x0|时，就有，即为当x0时的无穷大令M104，取，当时，就能使4求下列极限并说明理由：解：（1）理由：因为为当x时的无穷小，所以（2）理由：因为x为当x0时的无穷小，所以5根据函数极限或无穷大定义，填写表1-2-2：表1-2-2解：表1-2-36函数yxcosx在（，）内是否有界？这个函数是否为x时的无穷大？为什么？解：因为，总有x0（M，），使cosx01，从而yx0cosx0 x0M，所以yxcosx在（，）内无界又因为，总有x0（X，），使cosx00，从而yx0cosx00M，所以yf(x)xcosx不是当x时的无穷大7证明：函数在区间（0
41、，1内无界，但这函数不是x0时的无穷大证：先证函数在区间（0，1内无界因为，在（0，1中总可找到点x0，使f（x0）M例如，可取，则，当k充分大时，可使f（x0）M所以在（0，1内无界再证函数不是x0时的无穷大因为，总可找到点x0，使0 x0，但f（x0）M例如，可取，当k充分大时，0 x0，但，所以不是x0时的无穷大8求函数的图形的渐近线解：因为，所以y0是函数图形的水平渐近线因为，所以都是函数图形的铅直渐近线习题1-5极限运算法则1计算下列极限：解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）2计算下列极限：解：（1）因为所以（2）因为所以
42、（3）因为所以3计算下列极限：解：（1）因为x20（x0），所以（2）因为，所以4设均为非负数列，且下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例（3）不存在； （4）不存在解：（1）错例如，nN，当n1时，故对任意nN，anbn不成立（2）错例如当n为奇数时，bncn不成立（3）错例如（4）对因为，若存在，则也存在，与已知条件矛盾5下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例（1）如果存在，但不存在，则不存在；（2）如果都不存在，则不存在；（3）如果存在，但不存在，则不存在解：（1）对因为，若存在，则也存在，与已知条
43、件矛盾（2）错如f(x)sgnx，g(x)sgnx在x0时的极限都不存在，但在x0时的极限存在（3）错如不存在，但6证明本节定理3中的（2）定理3（2）：如果limf(x)A，limg(x)B，则limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB证：因limf(x)A，limg(x)B，有f(x)A，g(x)B，其中、都是无穷小，于是因为常数与无穷小的乘积是无穷小，所以A、B都是无穷小又因为有限个无穷小的乘积是无穷小，所以也是无穷小由有限个无穷小的和是无穷小，知也是无穷小，因此limf(x)g(x)ABlimf(x)limg(x)习题1-6极限存在准则两个重要极限1计算下列极限：解：（1）
44、当0时，；当0时，故不论为何值，均有.2计算下列极限：解：3根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I准则I如果则存在，且等于A证：，因，故，当时，有，即（1-2-1）又因，故对上面的0，当时，有，即（1-2-2）取，则当0|xx0|时，假设（1）及式（1-2-1）、（1-2-2）同时成立，从而有，即有因此存在，且等于A4利用极限存在准则证明：证：（1）因，而，由夹逼准则，即得证（2）因，而由夹逼准则，即得证先证数列xn为有界数列：n1时，；假定nk时，xk2当nk1时，故xn2（nN）再证数列xn是单调增加的：因由0 xn2，得，即xn1xn（nN）由单调有界准则，即知存在记由得两端同时取极限
45、得即（4）当x0时，；当1x0时，而由夹逼准则，即得证（5）当x0时，而由夹逼准则，即得证习题1-7无穷小的比较1当x0时，2xx2与x2x3相比，哪一个是高阶无穷小？解：因为，则所以当x0时，x2x3是比2xx2高阶的无穷小2当x0时，相比，哪一个是高阶无穷小？解：因为所以当x0时，（1cosx）2是比sin2x高阶的无穷小3当x1时，无穷小1x和（1）1x3，（2）是否同阶，是否等价？解:（1），同阶，不等价（2），同阶，等价4证明：当x0时，有证：（1）令xtant，即tarctanx，当x0时，t0因为所以arctanxx（x0）（2）因为所以5利用等价无穷小的性质，求下列极限：解：（
46、1）.（2）（3）.（4）6证明无穷小的等价关系具有下列性质：（1）（自反性）；（2）若，则（对称性）；（3）若，则（传递性）证明：（1）因为，所以；（2）因为，即所以，即；（3）因为，即，所以即习题1-8函数的连续性与间断点1设yf(x)的图形如图1-2-11所示，试指出f(x)的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点图1-2-11解：x1，0，1，2均为f(x)的间断点，除x0外它们均为f(x)的可去间断点补充定义f（1）f（2）0，修改定义使f（1）2，则它们均成为f(x)的连续点2研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：解：（1）f(x)在0，1）及（1，2内
47、连续，在x1处又f（1）1，所以f(x)在x1处连续，因此f(x)在0，2上连续，函数的图形如图1-2-12所示图1-2-12（2）f(x)在（，1）与（1，）内连续，在x1处间断，但右连续因为在x1处但即函数的图形如图1-2-13所示图1-2-133下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：解：（1）对x1，因为f（1）无定义，但所以，x1为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数则f1(x)在x1处连续因为，所以x2为第二类间断点（无穷间断点）（2）对x0，因为f(0)无定义，所以x0为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数则f
48、1(x)在x0处连续对，因为，所以为第二类间断点（无穷间断点）对，因为，而函数在处无定义，所以为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数则f2(x)在处连续（3）对x0，因为均不存在，所以x0为第二类间断点（4）对x1，因为，即左、右极限存在，但不相等，所以x1为第一类间断点（跳跃间断点）4讨论函数的连续性，若有间断点，则判别其类型解：在分段点x1处，因为所以x1为第一类间断点（跳跃间断点）在分段点x1处，因为所以x1为第一类间断点（跳跃间断点）5下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例（1）如果函数f(x)在a连续，那么|f(x)|也在a连续；（2
49、）如果函数|f(x)|在a连续，那么f(x)也在a连续解：（1）对因为，所以|f(x)|也在a连续（2）错例如则|f(x)|在x0处连续，而f(x)在x0处不连续6证明：若函数f(x)在点x0连续且f（x0）0，则存在x0的某一邻域U（x0），当xU（x0）时，f(x)0证：如果f（x0）0，因为f(x)在x0连续，所以取当时，有，即如果f（x0）0，因为f(x)在x0连续，所以取，当时，有即因此，不论f（x0）0或f（x0）0，总存在x0的某一邻域U（x0），当xU（x0）时，f(x)07设证明：（1）f(x)在x0连续；（2）f(x)在非零的x处都不连续证：（1），取，则当|x0|x|时故
50、，即f(x)在x0连续（2）证明：，f(x)在x0不连续若x0r0，rQ，则f（x0）f（r）r分别取一有理数列；取一无理数列，则而r0，由函数极限与数列极限的关系知不存在，则f(x)在r处不连续若x0s，sRQ同理可证：f（x0）f（s）0，但不存在，故f(x)在s处不连续8试举出具有以下性质的函数f(x)的例子：是f(x)的所有间断点，且它们都是无穷间断点解：设，则f(x)满足所要求的性质习题1-9连续函数的运算与初等函数的连续性1求函数的连续区间，并求极限及解：f(x)在x13，x22处无意义，因此这两个点为间断点，此外函数到处连续，连续区间为（，3），（3，2），（2，）因为所以2设函
