1、指数函数与对数函数章概览指数函数与对数函数是一对密切配合的函数，它们互为反函数，是最基本、应用最广泛的两类函数，是进一步学习数学的基础利用代数运算和函数图象数形结合地研究指数函数、对数函数的性质，不仅能使学生理解这两个函数所蕴含的运算规律，掌握通过图象直观（定性）和数学运算（定量）获得函数性质的方法，而且有助于学生进一步理解函数概念，感受函数所蕴含的数学基本思想和方法通过利用指数函数和对数函数建立数学模型解决实际问题的训练，可以使学生进一步掌握用函数刻画运动变化现象的思想方法，理解函数模型是刻画客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，积累数学活动经验在“预备知识”主题中，学生经历了梳理二
2、次函数知识，学习用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，进而用二次函数的性质研究一元二次不等式的解的过程，从中感悟了数学知识之间的关联，认识了函数的重要性在“函数概念与性质”一章的学习中，学生经历了分析具体实例、归纳共同特征、抽象概括函数的一般概念的过程，知道了函数不仅可以理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，更一般地，函数是两个实数集之间的对应关系，感悟了数学抽象的层次性；在已有的通过图象直观研究函数性质的经验基础上，进一步学习了用代数运算揭示函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质的方法；通过“函数”的学习，学生初步理解了研究一
3、类函数的内容、过程（定义、表示图象与性质应用）和方法，本章将在这些学习的基础上展开一、本章内容安排1关于指数、对数的内容安排在数学史上，对数的发明早于指数，引入对数主要是为了解决大数运算的简化问题，在信息化、智能化高度发展的今天，计算工具唾手可得因此学习对数的主要目的已不再是简化运算，而是为了让学生在建立对数的概念，研究对数的运算性质以及在不同底的对数之间相互转换中领悟数学思想，发展理性思维从学生的认知基础看，他们从数的乘方运算中已经对an的含义积累了较丰富的经验首先是在小学学习自然数及其运算中，知道了乘法是一个数“自相加的缩写”，乘方是一个数“自相乘”的缩写初中阶段，在“有理数”一章中学习了
4、乘方概念：“求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂”再在整式的乘除运算中，通过正整数指数幂的运算性质和除法运算，定义了0指数幂，在“使正整数指数幂的运算性质在整数范围内也成立”的原则下，通过定义 （其实是利用正整数指数幂定义负整数指数幂），把指数范围从自然数推广到全体整数顺理成章地，在本章中我们将先把指数幂从整数指数幂扩充到有理数指数幂，再扩充到实数指数赛，建立实数指数等的概念，并研究其运算性质从而为研究连续变量的指数函数做好准备，同时也为从指数幂中导出对数概念（对于ax=N已知底数a和幂N的值，求
5、指数x），并利用指数幂的运算性质研究对数的运算性质，进而研究对数函数等做好准备因此，本章中指数、对数内容的构建，一脉相承地以“运算”为基本线索，从已学的整数指数幂出发，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程在学习指数幂及其运算性质的基础上，再学习对数及其运算的性质这样安排不仅符合学生的认知规律，而且也符合数学知识发生发展的内在逻辑2关于指数函数、对数函数内容的安排从数学知识发展的内在逻辑看，在实数范围内，明确指数幂含义的基础上，等式z=xy的三个量x，y，z中，一个为常量、一个为自变量、一个为因变量，就得到幂函数、指数函数和对数函数另外，我们还可以这样考虑：指数函数y
6、=ax在R上是严格单调的也就是说，任意两个不同实数，都有这就使我们想到可以研究“反过来的函数”一指数x作为幂y的函数，即以a为底的对数函数不过，纯粹地从数学内部构建指数函数、对数函数的内容体系，看上去逻辑严谨、简清明快，但与课程目标、数学发展的历史及学生的学习心理等都不吻合我们知道，指数函数和对数函数有着丰富的现实背景“指数爆炸“对数增长”的现象普遍存在课程标准（2017年版）强调“函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用” 在学生的已有经验中，无论是函数的一般概念还是一类函数的学习，都是从现实世界中的运动变化现象出发展开的综合以上因素，从抽象
7、现实世界中一类运动变化现象的规律出发得出指数函数、对数函数的概念，然后在研究函数概念与性质的一般方法指引下，利用研究一次函数、二次函数、幂函数的经验，展开对指数函数、对数函数的研究这样的内容安排方式是切实可行的根据以上分析，可以得到本章内容的如下基本结构：二、本章核心内容的理解与育人价值的认识数学的育人价值蕴含于内容之中，解析数学内容的本质与挖掘内容的育人价值是相辅相成的本章包含实数指数幂及其运算性质、对数及其运算性质、指数函数和对数函数，以及二分法与求方程的近似解、函数与数学模型等内容下面我们从内容本质的分析入手讨论这些内容的育人价值1实数指数幂及其运算性质在理解指数幂的本质时，有些基本问题
8、需要我们认真思考例如：对指数幂的研究与数系的扩充有怎样的内在一致性？又有怎样的不同？我们该如何利用关于数及其运算的已有知识及其蕴含的数学思想完善指数幂的知识体系？教学中如何发挥指数幂这一内容的育人价值？我们知道，数系扩充，一是扩充数的范围，二是在新的范围内定义数的运算对于指数ax，从最原始的“自然数的自相乘”出发，先是随着数从自然数扩充到有理数、实数而把底数扩充到正实数，其意义是“实数a的自相乘”然后，我们把指数从自然数扩充到有理数再到实数在把指数x从自然数扩充到有理数时，扩充的原则仍然是“使幂的算术运算性质（指数律）仍然成立”初中已经把指数范围从自然数推广到全体整数，接着要做的是扩展到分数根
9、据引进分数的经验，显然是要先定义单位分数指数幂，即的意义联系到平方根、立方根具有的性质，我们首先把根式的概念推广，即先定义n次根式，把使xn=a成立的x叫做a的n次方根，其中n1且当n是奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，用符号表示；当n是偶数时，正数的n次方根是两个互为相反数的数，写成（a0），负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作上述得到根式意义的过程具有完备性，对培养学生的理性思维很有用，特别是在归纳地定义的过程中，可以有效地培养思维的逻辑性根据n次方根的意义，可得=a一脉相承地，我们希望整数指数幂的运算性质对分数指数幂也适用由可见，规定是合理的进而规定=（a是正数
10、，m，n ，且n1）也是自然的于是，在条件a是正数，m，n ，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式；与负整数指数幂的意义相仿，可规定（a是正数，m，n ，且n1）；与0的整数指数幂的意义相仿，可规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义这样，指数幂a中指数x的取值范围就从整数拓展到了分数，在上述定义下，容易证明：当a0b0时，对于任意有理数m，n，均有：（1）aman=am+n；（2）；（3）（ab）n=anbn；接下来的任务是认识无理数指数幂的意义，需要解决的问题仍然是：当x是无理数时，ax的意义是什么？它是否为一个确定的数？如果是，它有什么运算性质？解决的方法是，借鉴初中学习
11、中用有理数逼近无理数的经验，通过有理数指数幂认识无理指数幂，因为中学阶段无法彻底解决这个问题，教科书采取举例的办法，引导学生利用计算工具计算 ， 的不足近似值和过剩近似值，感受无理数指数幂a（a0，为无理数）是一个确定的实数，并指出整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂总之，数系的扩充，是通过“添加一种新的数将数的范围扩充，再在使已有的运算律保持不变的思想指导下，在新的范围内定义运算”而实现的；指数幂的研究，并不涉及数的范围的扩充，而是要明确指数幂的意义及其运算的性质实际上指数幂ax，除x为正整数外，它的意义不明显，与对有理数、无理数的研究重点有所不同，对指数幂ax，我们不太关心到底是多少，重
12、点是对它有什么“与众不同”的性质的考察ax的最重要的性质是axay=ax+y；（a0，x，yR），再加上；（a0，m，nR），（ab）n=anbn；（a0，m，nR）等少数几个性质，ax就完全确定了从更一般的角度看，上述推广充满着理性精神，数学概念的延伸与拓展中体现了数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和数学知识发生发展过程的逻辑连贯性，可以使学生体会到数学对象的内涵、结构、内容和方法的建构方式，从而使学生体悟到“数学的方式，领会数学地认识问题、解决问题的思想方法，这对学生理解数学概念的发生发展过程，发展“四基”四能进而提升数学素养等都具有非常积极的意义2对数及其运算性质对数的发明与指数
13、无关，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求，其关键是利用对应关系；建立起如下对应法则：（1） ；（2）；（3）；（4） 利用上述对应法则降低运算层级，达到简化运算的目的那么，在研究“指数ax的意义及其运算性质”的基础上研究“对数的意义及其运算性质”，其育人价值如何体现呢？我们认为，先借鉴已有经验，抽象出“对数”这一研究对象；再从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题只要让学生完整经历“现实背景概念（定义、表示）性质运算性质应用”过程，鼓励学生采用独立思考、自主探究、合作交流等方式展开学习，就能充分发挥对数的育人功能，具体
14、而言是：（1）通过数学内外的问题，抽象出数学问题：在ax=N（a0，且a1）中，已知a，N，则x=？（以下默认a0，且a1）这是一个从具体到抽象的过程，对培养发现和提出问题的能力、发展数学抽象素养都有作用（2）定义数学对象：就像为了解决“在=a中，已知n，a，x=？”而引入符号 一样，通过引入符号表示（a0，且a1）中的x，并把它叫做以a为底N的对数，相应的把a叫做对数的底数，N叫做真数，从而得到一个数学研究对象如何理解对数这个概念？有人认为，“对数是对求幂的逆运算”“对数是指数的逆运算”，这些说法都不太准确事实上，从运算角度看，对于乘方运算xy，设其结果是z，即xy=z如果问题是“已知y，z
15、，求x”，则x=；如果问题是“已知x，z求y”，则y=所以，乘方运算的逆运算有两种，一种是开方运算，另一种是对数运算另外，在实数范围内，就像方程10x=100存在唯一实数解x=2一样，10x=3也存在唯一实数解，我们把它记作lg3，而且可以证明1g3是无理数从这个意义上讲，是一个确定的数，没有什么运算的含义，就是表示数的一种方式，与用1表示1的相反意义的量是类似的可以想象，“对数”这个词与前述的对应关系有一定关系，即是与 中的x相对应的那个数，简称为“对数”这样就给出了理解对数概念的三个角度：乘方运算的逆运算”“数的表示”和“对应”从上所述可见，引入对数概念的过程反映了人类理性思维的力量（3）
16、研究的性质，从对数的定义出发，与相联系：由定义可得：又由a0=1和a1=a可知，=0， = 1对任意正数a都成立，这些是从对数的定义推出的最基本性质，是从涉及的要素a，N的特殊关系（N=a）、特殊取值（N=1）入手而发现的（4）研究对数的运算性质，“引入一类新的数，就要研究它的运算性质，这是代数的基本任务这里要联系指数幂的运算性质，而且只要把它们“反过来”，用对数符号表示就可以了：loga（MN）=logaM+logaN，logaMb= blogaM，loga =logaMlogaN上述性质表明，利用对数可以把乘法、除法和乘方（含开方）运算分别转化为加法、减法和乘法，从而实现“简化运算”（5）
17、研究不同底的对数之间的关系，得出换底公式由定义，任意不等于1的正数都可作为对数的底数，如果要针对每一个底数分别计算相应的对数，那么“简化运算”就是一句空话，于是自然提出，能否把以其他数为底的对数都转化为以某个数为底的对数？数学史上，数学家就是这样干的：由于数系是十进制，因此以10为底的对数（常用对数）在数值计算上具有优越性，于是他们制作了常用对数表，利用换底公式就可以求出以实数a为底的对数了显然，这个过程对学生领会转化与化归思想、培养发现和提出问题的能力很有好处至于应用，信息技术的迅速发展使对数计算尺、对数表等体现对数应用的计算工具都不再重要，但利用对数函数建立数学模型解决实际问题则具有永久的
18、生命力3指数函数刻画了哪类运动变化现象我们知道，基本初等函数都有现实背景，每一类函数都对应着现实世界中一类运动变化现象，是对这类现象变化规律的数学表达，掌握基本初等函数的概念与性质理解这些函数中所蕴含的运算规律，其目的就是要运用这些函数建立适当的数学模型解决各种各样的实际问题在课程标准（2017年版）中，对“函数与数学模型”提出了如下内容和要求”：（1）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的两数类型刻画现实问题的变化规律；（2）结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上
19、升”“指数爆炸”等术语的现实含义：（3）收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义其中，目标（1）需要在应用函数建立模型的过程中来实现，目标（3）要通过一定量的数学阅读来实现而在面对实际问题时，能否选择合适的函数类型对其变化规律加以刻画，基础是对各类函数的特征有准确把握，对每类函数到底刻画了哪类现实问题的变化规律有深入了解；同时，对各类函数的增长差异要做到心中有数由此可见，发展学生的数学建模素养，一是准确理解各类基本初等函数的概念、性质以及不同类型函数刻画了哪一类现实问题的变化规律，准确把握各类函数的增长差异；二
20、是加强用函数建立数学模型解决实际问题的实践，前一个是数学知识基础，后一个是数学建模实践，两者缺一不可下面我们讨论一下指数函数刻画的运动变化规律：现实中，呈指数变化的事例很多，函数表达式可以一般化地表示为y=因为自变量x往往与次数或时间有关，所以这种表达是有序的如果以连续的时间变化为序，从一般意义上考察表达式，可以发现，对于任意给定的时间间隔，由此可知这一类运动变化现象有如下规律：对于相同的时间改变量，其函数值按确定的比例在增长（a1）或就减（0a1时，设a=1+，则指数函数可表示为y=（1+）x（0）；当0a0），这样的表达是更具实际意义的，它们表明了指数函数所刻画的事物变化规律是：按确定的增
21、长率=a1（a1）呈指数增长，或按确定的衰诚率=1a（0a0，a1）有意义，我们就可以在一般意义上给出刻画这类现象变化规律的函数定义：函数yax（a0，且a1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R2对数函数概念的抽象因为学生在对数概念的学习中已经掌握了对数与指数之间的内在关联，所以对数函数概念的抽象应该在此基础上展开，这是对数函数概念抽象过程的“与众不同之处指数函数给出了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律一个自然的问题是：已知死亡生物体内碳14的含量，如何判断它的死亡时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14含量y的函数吗？根据指数与对数的关系可得x（0y1）根据指数函
22、数的性质可知，对于任意一个y（0，1，通过对应关系x，在0，）上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数也就是说，函数x，y（0，1刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律一般地，根据指数与对数的关系，由yax（a0，且a1）可以得到xlogay（a0，且a1），x也是y的函数通常，我们用x表示自变量，y表示函数为此，将xlogay（a0，且a1）中的字母x和y对调，写成ylogax（a0，且a1），这样就得到了对数函数的定义值得指出的是，从抽象研究对象的过程与方法看，指数函数与对数函数概念的抽象具有典型性，教师应该在教学过程中引导学生进行仔细揣摩，在发现现实世界中呈指数增长或衰减这
23、类现象的变化规律的过程中，我们综合使用了表格、图象（散点图）、运算等数学方法，特别是通过运算得出精确表达的函数解析式我们知道，函数的研究对象是现实世界中的确定性现象，如果某类确定性现象的变化规律可以用一个代数式来表达，那么得出这个表达式的数学方法就是加、减、乘、除、乘方、开方这样的初等数学运算，像“均匀变化”“均匀加速”之类的现象，因为其规律是“增加量保持不变，所以利用减法运算；而指数爆炸、对数增长之类的现象，其规律是“增长率保持不变”，所以利用除法运算，另外，在发现规律的过程中，从特殊到一般、从定性（图象直观）到定量（用解析式表达数量关系）等也是基本的数学思想和方法从更一般的角度看，函数是两
24、个数集元素之间的对应关系，本质上反映了自变量与函数值之间的代数关联，而数学运算是发现和建立这种关联的基本手段，对于基本初等函数则尤其如此，实际上，对应于指数幂的运算法则，我们可以形式化地给出如下指数函数和对数函数的定义：指数函数是定义在实数集上，且满足 的非常值连续函数；对数函数是定义在正实数集上，且满足的非常值连续函数通过运算法则形式化地定义函数，这是理性思维的结果，更能说明函数的本质特征例如，常常看到老师们争论y=a3x是不是指数函数，如果从上述定义出发，因为 ，满足定义，所以它是指数函数这表明，采用上述定义就不会出现任何歧义，不过，形式化定义虽然纯粹，但脱离了一切现实背景，与学生的认知基
25、础距离很远，学生很难真正理解其意义，不符合高中学生的认知水平所以教材采用了从学生熟悉的现实青景出发，引导学生利用数学运算发现规律，让学生感梧数学运算在研究指数函数和对数函数中的作用，并将这种做法贯穿始终四、加强背景和应用，发展学生数学建模素养函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，备函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，在学习这些函数的过程中，加强背景与应用，既是为了使学生了解这些函数的来源，有效地经历概念的抽象过程，更深刻地理解这些函数的本质，也是为了使学生明确这些函数分别描述了现实世界中哪一类变量关系和规律，从而为学生在面对具体问题时能正确选择函数类型
26、、建立适当的数学模型解决实际问题打下坚实基础，同时，这也是为了把数学建模素养的培养落实在本章学习全过程的需要本章教材编写中，对指数函数、对数函数的现实背景与应用给予了充分关注，教科书在章引言中指出，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来描述它们的变化规律；在指数函数概念的建立过程中，教科书以现实中的真实事例为背景，通过与“线性增长”的比较得出“指数增长”的规律进而引入指数函数的定义与表示；在研究指数函数、对数函数的图象与性质之后，教科书加强了运用函数图象与性质解决实际问题的内容；最后，教科书通过具体实例对不同函数的增长差异（直线上升、指数爆
27、炸、对数增长）进行比较，并专门安排了“函数的应用（二）”一节在介绍了运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）的基础上，安排了典型而丰富的实例，引导学生更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法本章共安排了近40个实际问题，涉及游客人次旅游收入的指数增长、碳14考古、人口增长模型、产品产量增长率、储蓄利率（复利）、地震释放的能量与震级的关系、GDP增长率、血液中酒精含量或药物含量的指数衰减，物价的增长率、溶液酸碱度、火箭飞行的运动规律、鮭鱼游速与耗氧量的关系、声强级别、动物或植物自然繁殖的规律、投资方案的选择、数据量的爆炸式增长、特定人群身
28、高体重的关系、汽车耗油量、废气破排、物体冷却模型等各种各样的现实问题这里我们重点说明一下不同函数增长差异的比较问题面对实际问题时，为了准确地描述它的变化规律，需要选择恰当的函数类型来构建数学模型，为此就要先分析清楚不同类型函数的增长差异从函数性质的角度看，增长差异是对函数单调性的进一步深化，不同函数增长差异刻画了它们的增长方式以及变化速度的差异，由于学生对线性函数已经有了认知基础，其变化规律非常直观：在整个定义域上的瞬时变化率恒定，即为定值因此，教科书用线性函数作为一把尺子，来“度量”指数函数和对数函数的增长差异，从而帮助学生理解直线上升、指数爆炸和对数增长的含义一般而言，对于一个具体的现实问题，可以用于刻画其数量关系、变化规律的函数类型是不唯一的，应根据实际问题的需要进行权衡，并需要借助一定的数学工具对函数的拟合优度进行判断
