1、环节一 指数函数的概念【引入新课】问题1 上一章学习了函数的概念和基本性质，还研究了一类具体的函数幂函数，结合这些研究经验，你能说说研究一类函数的内容、过程和方法吗？答案：首先结合实际背景抽象出函数概念，然后研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题过渡语：对于指数幂ax（a0），我们已经把指数x的范围拓展到了实数；对于一类函数，我们也有了一定的研究思路，这节课继续研究其他类型的基本初等函数（板书：指数函数的概念）【课堂探究】问题2 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高
2、了景区门票价格，而B地则取消了景区门票下表（表1）给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量表1时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次200160027820026099309312003620113443520046311138339200564110427442006650947548200766111528532008671105886020096811065567201069110729742011702118118220127119903922013721101 0051022014732111 118113201574311
3、1 244126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？答案：从表格中的数据不难看出，A，B两地景区的游客人次都在增长，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次追问1 除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，进而发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？答案：为了有利于观察规律，根据表1，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来，得到图1追问2 通过
4、观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？答案：通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快追问3 图象显示出A，B两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用代数运算表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法答案：我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得
5、到结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.1110.11，是一个常数结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，B地景区的游客人次近似于指数增长追问4 根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？答案：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y1
6、.11x (xN) 这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长问题3 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考追问1 能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？答案：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为(1p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为(1p)2；死亡3年后，
7、生物体内碳14含量为(1p)3；死亡5 730年后，生物体内碳14含量为(1p)5730；根据已知条件，(1p)5730，从而1p()，所以年衰减率为p1()追问2 根据计算出的碳14含量的年衰减率，能否给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？答案：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y(1p)x，即y()x(x0,) 这也是一个函数，指数x是自变量死亡生物体内碳14含量每年都以1()的衰减率衰减结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减问题4 比较问题2和问题3中的两个实例，它们所描述的变
8、化规律有什么共同特征？答案：如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和()，那么函数y1.11x和y()x就可以表示为yax的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数结论：一般地，函数yax (a0，且a1)叫做指数函数（exponential function），其中指数x是自变量，定义域是R【知识应用】例1 已知指数函数f(x)ax (a0，且a1)，且f(3)，求f(0)，f(1)，f(3)的值答案：解：因为f(x)ax，且f(3)，则a3，解得，于是所以，例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为15
9、0元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况（2）在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？追问1 影响A，B两地旅游收入的因素有哪些？它们又是如何施加具体影响的？答案：旅游收入是游客人数与每位游客带来的收入的乘积，结合问题1的分析可知，经过x年后，A地游客人数为10x600，每位游客带来的收入是1150元；B地游客人数为1.11x，每位游客带来的收入是1000元所以A，B两地的收入分别为f(x)1 150(10x600)和g(x)1 0002781.11x追问2 如何比较f(x)1 150(10x600)与g(x)1 0002781.11x的大小关系？
10、答案：借助函数观点和信息技术，画出两个函数的图象，先整体把握两个函数的变化趋势，再关注具体细节解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)1 150(10x600)，g(x)1 0002781.11x利用计算工具可得，当x0时，f(0)g(0)412 000当x10.22时，f(10.22)g(10.22)结合图2可知：当x10.22时，f(x)g(x)，当x10.22时，f(x)g(x)当x14时，g(14)f(14)347 303这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f(x)g(x)，但g(x)的增长速
11、度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2001年3月某个时刻就有f(x)g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347 303万元了（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么当x10 000时，利用计算工具求得所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30问题5 观察例2（1）中的函数解析式g(x)1 0002781.11x，它与我们前面所定义的指数函数yax (a0，且a1)
12、有何异同？答案：例2（1）中的函数解析式g(x)1 0002781.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数yax相比，在ax(a0，且a1)前面多了一个系数结论：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型【归纳总结、布置作业】问题6 回顾本节课，你能从代数运算的角度谈谈问题2中的增长率和问题3中的衰减率为什么是一个常数吗？这体现了指数函数的什么本质特性？答案：对于指数函数f(x)ax (a0，且a1)，问题2和问题3的两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：当x00，x1时，上式即事实上，对于形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数，也满足上面的式子总之，指数函数是刻画自变量增量相同、函数值变化相同比例的一类重要函数模型布置作业 教科书习题4.2第1，2，4，7，8题
