1、指数函数的概念 上一章我们学习了函数的概念和基本性质，还研究了一类具体的函数幂函数，结合这些研究经验，你能说说研究一类函数的内容、过程和方法吗？答案：首先结合实际背景抽象出函数概念，然后研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题引入新课 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量探究新知时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次200160
2、02782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126探究新知比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？从表格中的数据不难看出，A，B两地景区的游客人次都在增长，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加
3、量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次探究新知追问1除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，进而发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？为了有利于观察规律，根据表格，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来画好的图象如下图探究新知探究新知追问2通过观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越
4、快探究新知追问3图象显示出A，B两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用数量表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法探究新知我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到探究新知结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.1110.11，是一个常数结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，B地景区的游客人次近似于指数增长探究新知追问4
5、根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；探究新知追问4根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y1.11x(xN)这是一个函数，其中指数x
6、是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长探究新知 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考探究新知追问1能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为 ；死亡2年后，生物体内碳14含量为 ；死亡3年后，生物体内碳14含量为 ；死亡5 730年后，生物体内碳14
7、含量为 ；探究新知追问1能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？根据已知条件， ，从而 ，所以年衰减率为 探究新知追问2根据计算出的碳14含量的年衰减率，能否给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？解：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么 ，即这也是一个函数，指数x是自变量死亡生物体内碳14含量每年都以 的衰减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减探究新知结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减探究新知问题4比较问题1和问题
8、2中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和 ，函数y1.11x和 就可以表示为yax的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数探究新知结论：一般地，函数yax (a0，且a1)叫做指数函数（exponential function），其中指数x是自变量，定义域是R探究新知问题4例1已知指数函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(3)，求f(0)，f(1)，f(3)的值解：因为f(x)ax，且f(3)，则a3 ，解得 ，于是所以，知识应用例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，
9、A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况（2）在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？知识应用知识应用例2追问1 影响A，B两地旅游收入的因素有哪些？它们又是如何施加具体影响的？答案：借助函数观点和信息技术，画出两个函数的图象，先整体把握两个函数的变化趋势，再关注具体细节知识应用例2知识应用例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况解：设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)1
10、150(10 x600)，g(x)1 0002781.11x利用计算工具可得，当x0时，f(0)g(0)412 000；当x10.22时，f(10.22)g(10.22)知识应用例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况解：结合右图可知：当x10.22时，f(x)g(x)，当x10.22时，f(x)g(x)当x14时，g(14)f(14)347 303知识应用例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这1
11、5年间A，B两地旅游收入变化情况这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f(x)g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2001年2月某个时刻就有f(x)g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347 303万元了知识应用例2（2）在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)如果把刚死亡的生物体内碳1
12、4含量看成1个单位，那么当x10 000时，利用计算工具求得 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30知识应用问题5观察例2（1）中的函数解析式g(x)1 0002781.11x，它与我们前面所定义的指数函数yax(a0，且a1)有何异同？结论：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型例2（1）中的函数解析式g(x)1 0002781.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数yax相比，在ax(a0，且a1)前面多了一个系数知识应用回顾本节课，你能从代数运算的角度谈谈问题2中的增长率和问题3中的衰减率为什么是一个常数吗？这提现了指数函数的什么本质特征？归纳总结问题6答案：对于指数函数f(x)ax(a0，且a1)，问题2和问题3的两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：当x00，x1时，上式即归纳总结问题6事实上，对于形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数，也满足上面的式子总之，指数函数是刻画自变量相同、函数值变化相同比例的一类重要函数模型敬请各位老师提出宝贵意见！
