1、直线与圆的位置关系教学设计引入新课问题1:直线与圆有哪些位置关系？答案：在平面几何中，直线与圆的位置关系有三种 ：直线与圆相交、相切、相离.追问1：如何判断直线与圆的位置关系？答案：通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系-直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离. 追问2：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？答案：还可以根据圆心到直线的距离，与半径的大小比较，判断直线与圆的位置关系.记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.如果,直线与圆相交；,直线与圆相切；,直线与圆相离. 将图中的直线看作是可以平行移动的，在直线与圆心距离的改变过
2、程中，直线与圆的位置关系发生了怎样的变化呢？记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.平移直线的过程中，圆心到直线的距离的变化导致位置关系的变化；反之，位置关系的变化导致圆心到直线的距离与半径间大小关系的变化.以相交为例，直线与圆相交、直线与圆有两个公共点、,它们之间的关系都是充分必要的.课堂探究问题2:本章我们研究直线、圆的角度是什么?答案:用方程研究直线、圆.在解析几何中，我们将几何图形放在坐标系下研究.用方程研究几何图形.点，用有序数对表示；线，用二元一次方程表示；圆，用二元二次方程表示.研究方法是把几何问题转化为代数问题，运用代数方法研究几何图形的性质.追问:类比两直线位置关系的研究方法，
3、如何通过代数方法研究直线与圆的位置关系?答案：将直线与圆的交点个数问题，转化为直线的方程与圆的方程联立组成的方程组实数解的个数问题.如果两直线相交，交点在“形”上的意义是，既在第一条直线上，又在第二条直线上；从“数”上理解，交点坐标既满足第一条直线方程，又满足第二条直线方程，它是两直线方程联立组成的方程组的解.如果两直线平行，则方程组无解.因此相交与否这一几何图形的位置关系问题，就可以通过方程组有无实数解的代数方法来判断.直线与圆是否有交点的问题，也可以转化为方程组实数解的个数问题.这样我们就有了将直线与圆的位置关系中的几何元素进行代数表达的思考方向.逐步体现本单元问题研究的必要性.由形上的无
4、法定量精准刻画，过渡到利用d与r的比较，再过渡到类比直线与直线位置关系的研究方法，用方程进行判断.知识应用例1 已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.解：（方法1）消去y,得：，因为，方程有两个实数解，所以直线l与圆C有两个交点，直线l与圆C相交.解方程，得，把分别代入方程（1），得到.所以，直线l与圆C有两个交点是.直线l被圆C所截得弦AB的长度.小结方法1：将判断直线与圆的位置关系，转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题;利用两点距离公式求弦长. 直线与圆有两个公共点，直线与圆相交. 直线与圆只有一个公共点，
5、直线与圆相切. 直线与圆没有公共点，直线与圆相离 解：（方法2）将圆C的一般方程，化为标准方程，可得圆心坐标,半径，则圆心到直线l的距离为由于dr,直线l与圆C有两个公共点，直线l与圆C相交.由垂径定理，弦AB的长度.小结方法2：将判断直线与圆的位置关系，转化为圆心到直线距离与半径的大小关系的问题；若相交，利用圆的几何性质-垂径定理，解决弦长问题.方法1、2都是对同样的几何元素进行代数表达，整理得到的结论也指向的是同样的几何图形的位置关系.对用方程研究直线与圆的位置关系问题的方法进行归纳、整理.练习：1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系：（1）l: ， 圆C: ；（2）l: ，圆C: ；（3
6、）l: ， 圆C: .2. 已知圆截直线所得弦的长度为4，求实数的值.答案：1. （1）相交；（2）相切；（3）相离. 2. 例2 过点P(2,1)作圆O：的切线l，求切线l方程.追问1：过一点作圆的切线，能作出几条?答案：根据点与圆的位置关系可以分三种情况：过圆内一点，不能作圆的切线；过圆上一点，能作出并且只能作出一条圆的切线；过圆外一点，能作出两条圆的切线.追问2：如何用代数方法表示直线与圆相切？ 答案：直线与圆公共点的个数、或直线方程与圆的方程联立消参后的方程有且只有一个实根、或圆心到直线的距离等于圆的半径，都是用代数的方法表示直线与圆相切.追问3：直线方程选择什么形式？答案：直线方程形
7、式中的点斜式、两点式、一般式均可.已知直线过一定点，表达它还需要确定一个要素，要么补充直线的斜率，要么补充另一个点，都可确定直线的方程.无论选择哪种形式的直线方程，都可以用两种思路-思路1：将直线与圆的位置关系相切，转化为由它们的方程组成的方程组只有一组解，从而确定直线斜率，进而确定直线方程.思路2：将直线与圆的位置关系相切，转化为圆心到直线距离等于半径或者圆外一点与切点连线与过切点的半径垂直等几何特征，从而确定直线的方程.解：首先考虑切线斜率不存在的情况，易知直线与圆外离，因此切线l斜率存在.设切线l斜率为k，则切线方程为：.（方法1）：因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解，消元，得：.
8、因为方程只有一个解，所以, 解得：所以，所求切线l的方程为或.（方法2）：因为直线与圆相切,所以圆心（0，0）到直线l的距离等于圆的半径1，切线方程转化为一般式：，得，解得.因此，所求切线l的方程为：或.追问4：直线与圆相切是一种特殊的位置关系，联立方程组只有一组解，或者转化为圆心到直线距离等于半径，从而确定直线的方程.你能比较这两种方法的差异吗？答案：判断直线与圆的位置关系，利用它们的方程，求得d与r,利用判断比较简洁；如果利用方程组解的个数处理，则直线方程形式中的点斜式最直接.追问5：你能总结出用方程判断直线与圆位置关系的方法吗？答案：画图观察，根据直线与圆公共点的个数进行判断，直观定性描
9、述；或利用直线与圆的方程，用圆心到直线距离或方程组实数解的个数进行定量描述. 无论从代数出发还是几何出发，判断位置关系的过程都经历了几何图形坐标化、方程化、进行代数运算、再利用代数运算的结果得到位置关系结论这样的过程.这是解决解析几何问题的最基本的思路和方法.例3图中是某圆拱桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度：m,拱高m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.追问1：建立平面直角坐标系需要遵循什么原则？ 答案：坐标轴的方向，我们一般会选择已知线段所在的直线，水平向右、垂直向上；若将坐标原点放在弦AB上，用弦的一个端点A作为原点，弦长、弓形高，间距已知，图中的点的坐标均
10、可写出，更方便建立圆的方程.可以设圆心坐标为（10，b),半径为r. 圆的方程是个二元二次方程，圆心的坐标越简单，方程结构越简单.同时考虑到圆的对称性和已知条件中的几何要素可以考虑弦的中点作为坐标原点；同时，选择单位长度表示1m.建立坐标系就是为了解决难以解决的几何问题，关键的步骤交由计算来完成.因此肯定要尽量避免繁复的代数运算.坐标系不是随意建立，充分利用几何图形的性质，尽量减少参数、使得所列方程、表达式尽量简洁，都是在选择原点位置、坐标轴方向这一步需要考虑的方向.因此坐标系的建立不是随意的，而是综合几何与代数知识并预估后续运算难度的严密思考后的结果.建立平面直角坐标系，要得到支柱的高度，只
11、需求出点纵坐标.解：（方法1）建立如图所示坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，点P、B的坐标分别为（0，4），（10，0）.设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,那么圆的方程是：，因为P、B两点都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足圆的方程，得到方程组解得所以圆的方程是：当时，（m）.答：支柱的高度约为3.86m.追问2:如果不建立坐标系，还有其他方法解决这一问题么?答案：可以用综合法解决. 解：（方法2）如图，过点C作，由已知，.在中，有.设圆拱所在圆C的半径长是，则有，解得.在中，.因为，于是有，.所以支柱的长度约为3.86m.追问3：坐标法与综合
12、法有何内在联系吗？答案：方法1中，点在圆上，坐标满足圆的方程，几何上解释就是点到圆心的距离，等于半径，在坐标系中表示两点距离的公式，本质就是勾股定理（圆的方程本质是距离方程）；与方法2中，在中，勾股定理所列方程，本质是一样的.对的长度的描述，两种方法得到的表达式等价.坐标法思考难度小、计算量小；综合法需要添加辅助线，有一定的技巧，过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理计算，过程比较复杂.解析几何的创始人之一笛卡尔就是对当时的几何方法、代数方法进行比较，分析各自优缺点后才创建了坐标系，我们也有了研究几何问题的新方法和对代数式更直观的理解. 数与形，在坐标系内的得到了完美的结合.追问4：你能总结用坐标法解决几何问题的基本步骤吗？答案：第一步:建立适当平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素：点、线、圆等等，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
